Моделювання технологічних процесів і систем

МОДЕЛЮВАННЯ ТЕХНОЛОГІЧНИХ ПРОЦЕСІВ І СИСТЕМ

 

Зміст

Вступ

Розділ 1. ОСНОВИ ТЕОРІЇ МОДЕЛЮВАННЯ

Глава 1. Моделі. Моделювання

1.1. Основні поняття та визначення

1.2. Цілі і принципи моделювання

1.3. Аксіоми теорії моделювання

1.4. Види моделей та моделювання

1.5. Функції моделей

1.6. Фактори, що впливають на модель об’єкта

Питання для самоконтролю

 

Глава 2. Математичне моделювання

2.1. Основні поняття і визначення

2.2. Вимоги до математичної моделі

2.3. Структура математичної моделі

2.4. Класифікація математичних моделей

2.5. Цілі математичного моделювання для технічних об’єктів і технологічних процесів

Питання для самоконтролю

 

Глава 3. Алгоритм побудови моделі

3.1. Технології моделювання

3.2. Алгоритм побудови аналітичної моделі

3.3. Алгоритм побудови емпіричної моделі

3.4. Коротка характеристика основних етапів алгоритмів побудови аналітичних і емпіричних моделей

Питання для самоконтролю

 

Розділ 2. Побудова емпіричних регресійних моделей

Глава 4. Планування і проведення експерименту

4.1. Основні поняття і визначення

4.2. Планування експерименту

4.2.1. Вибір рівнів факторів

4.2.2. Повний факторний експеримент

4.3. Проведення експерименту

Питання для самоконтролю

 

Глава 5. Регресивні моделі з однією вхідною змінною

5.1. Основні поняття

5.2. Адекватність регресійних моделей

5.3. Точність регресійних моделей

5.4. Види регресійних моделей з однієї вхідної змінної

Питання для самоконтролю

 

Глава 6. Регресивні моделі з декількома вхідними змінними

6.1. Багатофакторна (множинна) лінійна регресія

6.2. Матричний підхід до визначення коефіцієнтів регресії

6.3. Оцінка адекватності та точності багатофакторної лінійної моделі

6.4. Лінійні регресійні моделі з декількома вхідними змінними

6.5. Нелінійні регресійні моделі з декількома вхідними змінними

6.6. Крокові методи побудови регресійних моделей

Питання для самоконтролю

 

Глава 7. Інтерпретація і оптимізація регресійних моделей

7.1. Інтерпретація моделі

7.2. Оптимізація моделі

Питання для самоконтролю

 

Висновок

 

Бібліографічний список

 

Мета дисципліни:

вивчення загальних питань теорії моделювання, методів побудови математичних моделей технологічних процесів і систем, їх використання для проведення обчислювальних експериментів і рішення оптимізаційних завдань.

 

Вступ

 

П’ятдесят років тому слова «модель», «моделювання» були відомі тільки дуже вузькому колу високопрофесійних фахівців, пов’язаних або з дослідженням складних фізичних і природних процесів та явищ, або зі створенням складних технічних об’єктів (в основному, як правило, військового призначення).

Сьогодні слова «модель» і «моделювання» відомі навіть школярам, ​​використовуються в звичайному житті і вже не сприймаються як вузькоспеціальні терміни. Комп’ютерні інформаційні технології розширили можливості моделювання, і сьогодні важко уявити науково-дослідницьку і серйозну проектну діяльність без використання методології та сучасних засобів побудови та використання моделей. Можливо констатувати, що за останні десятиліття моделювання оформилося в самостійну міждисциплінарну галузь знань зі своїми об’єктами, закономірностями, підходами та методами дослідження і відноситься до загальних методів наукового пізнання.

Результатом вивчення курсу «Моделювання технологічних процесів і систем» має стати засвоєння студентами основних понять і визначень теорії моделювання, класифікацій моделей та видів моделювання, особливостей застосування різних моделей і математичного моделювання, алгоритмів побудови моделей, основ побудови і дослідження однофакторних та багатофакторних регресійних моделей.

 

Розділ 1. ОСНОВИ ТЕОРІЇ МОДЕЛЮВАННЯ

 

Глава 1. Моделі. Моделювання

 

Цілі і принципи моделювання

 

Створюючи модель об’єкта, дослідник пізнає об’єкт, тобто виділяє його з навколишнього середовища і будує його формальний опис.

Основні цілі моделювання:

● опис об’єкта;

● пояснення об’єкта;

● прогнозування поведінки і властивостей об’єкта.

Цілі опису і пояснення об’єкта можна об’єднати в одну - вивчення об’єкта (пізнавальна мета). Модель потрібна для того, щоб зрозуміти, як влаштований конкретний досліджуваний об’єкт, яка його структура, внутрішні зв’язки, основні властивості, закони розвитку, саморозвитку і взаємодії з навколишнім середовищем [2]. Ще одна мета (прогнозування поведінки і властивостей об’єкта) є частиною стратегічної мети - керувати об’єктом, визначаючи по моделі оптимальні керуючі впливу при заданих цілях і критеріях. Модель потрібна і для того, щоб прогнозувати наслідки різних впливів на об’єкт.

В основі моделювання лежить теорія подібності, згідно з якою абсолютна подібність можливо тільки при заміні одного об’єкта іншим точно таким же. Цю ідею добре висловили А. Розенблют і Н. Вінер, коли сказали, що найкращою моделлю кота є інший кіт, а ще краще - той же самий кіт [2]. При моделюванні абсолютна подібність немає місця. Будь-яка модель не тотожна об’єкту-оригіналу і не є повною, так як при її побудові дослідник враховує тільки ті особливості об’єкта, які вважає найбільш важливими для вирішення конкретного завдання. Досить того, щоб модель добре відображала цікаві для дослідника властивості і прояви аналізованого об’єкта.

Однак ніхто і ніщо не може бути моделлю самого себе.

Реальна користь від моделювання може бути отримана при виконанні наступних умов:

● модель повинна бути адекватною оригіналу в тому сенсі, що повинна з достатньою точністю відображати цікаві для дослідника характеристики оригіналу;

● модель повинна усувати проблеми, пов’язані з фізичними вимірами будь яких сигналів або характеристик оригіналу.

Моделювання базується на кількох основних принципах [5]:

1. Принцип інформаційної достатності - при повній відсутності інформації про об’єкт побудова його моделі неможливо. Існує певний рівень апріорної інформації про об’єкт, тільки при досягненні, якого може бути побудована адекватна модель. При наявності повної інформації про об’єкт побудова його моделі не має сенсу.

2. Принцип здійсненності - створювана модель повинна забезпечувати досягнення поставленої мети дослідження з ймовірністю, яка істотно відрізняється від нуля.

3. Принцип множинності моделей - створювана модель повинна відображати в першу чергу ті властивості реального об’єкта (системи), які цікавлять дослідника. Для повного дослідження об’єкта необхідна достатня велика кількість моделей, що відображають досліджуваний об’єкт з різних сторін і з різним ступенем деталізації.

4. Принцип агрегатування - в більшості досліджень систему доцільно представити як сукупність підсистем, для опису яких виявляються придатними стандартні схеми.

5. Принцип параметризації - модель будується в вигляді відомої системи, параметри якої невідомі.

 

Аксіоми теорії моделювання

 

Раніше було вже сказано, що моделювання сьогодні є самостійною галуззю знань, окремою наукою. Багато науки базуються на деякому наборі аксіом (тверджень, які приймаються «на віру» і не вимагають доказів). Є такі аксіоми і в моделюванні [5].

Аксіома 1. Модель не існує сама по собі, а виступає в тандемі з деяким матеріальним об’єктом, який вона представляє (заміщає) в процесі його вивчення або проектування.

Аксіома 2. Для природних матеріальних об’єктів модель вторинна, тобто з’являється як наслідок вивчення і опису цього об’єкта (наприклад, модель сонячної системи). Для штучних матеріальних об’єктів (створюваних людиною або технікою) модель є первинною, так як передує появі самого об’єкта (наприклад, модель літака, модель двигуна).

Аксіома 3. Модель завжди простіше об’єкта. Вона відображає тільки деякі його властивості, а не представляє об’єкт «у всій красі». Для одного об’єкта будується цілий ряд моделей, що відображають його поведінку або властивості з різних сторін або з різним ступенем детальності. При нескінченному підвищенні якості моделі вона наближається до самого об’єкту.

Аксіома 4. Модель повинна бути подібна тому об’єкту, який вона заміщає, тобто модель в певному сенсі є копією, аналогом об’єкта. Якщо в досліджуваних ситуаціях модель поводиться так само, як і модельований об’єкт, або це розбіжність невелика і влаштовує дослідника, то кажуть, що модель адекватна оригіналу. Адекватність - це відтворення моделлю з необхідною повнотою і точністю всіх властивостей об’єкта, істотних для цілей даного дослідження.

Аксіома 5. Побудова моделі не самоціль. Вона будується для того, щоб можна було експериментувати не з самим об’єктом, а з більш зручним для цих цілей його представником, який називається моделлю.

 

Види моделей та моделювання

 

Єдиної загальноприйнятої класифікації моделей і моделювання на сьогоднішній день не існує. Тому ми будемо спиратися на два найбільш повних і зрозумілих підходу до класифікації моделей і моделювання [2, 3].

Моделі характеризуються трьома основними ознаками [4]:

● приналежністю до певного класу задач (наприклад, управління технологічними процесами, управління технічними об’єктами, планово-економічні завдання і т. д.);

● приналежністю до певного класу об’єктів (фізичні, біологічні і т. д.);

● способом реалізації.

За способом реалізації моделі підрозділяються на матеріальні і ідеальні [2, 4]. До цього умовного поділу призводить використання моделювання на теоретичному і емпіричному рівнях пізнання.

Матеріальне моделювання - це моделювання, при якому дослідження об’єкта виконується з використанням його матеріального аналога, що відтворює основні фізичні, геометричні, динамічні, функціональні характеристики об’єкта [2].

Ідеальне моделювання відрізняється від матеріального тим, що ґрунтується не на матеріальній аналогії об’єкта і моделі, а на аналогії ідеальної, думкоутворюючій і завжди носить теоретичний характер. Ідеальне моделювання є первинним по відношенню до матеріального.

Матеріальні моделі об’єднуються в три основні підкласу [4]:

● геометрично подібні, які відтворюють просторово геометричні характеристики оригіналу (макети будівель, муляжі і т. д.);

● відтворюють з масштабуванням в просторі і в часі властивості оригіналу тієї ж природи, що і модель (наприклад, моделі суден);

● відтворюють властивості оригіналу в моделюючому об’єкті, який має іншу природу (наприклад, електрогідравлічні аналогії) або засновані на ізоморфізмі між формально описаними властивостями оригіналу і об’єкта (всі різновиди електронного моделювання).

Існує два основні різновиди матеріального моделювання: натурне і аналогове моделювання. Обидва види засновані на властивостях геометричної або фізичної подібності. Теорія подібності якраз і займається вивченням умов подібності явищ.

Натурне - це таке моделювання, при якому реальному об’єкту ставиться у відповідність його збільшений або зменшений аналог, що допускає дослідження (в лабораторних умовах) за допомогою подальшого перенесення властивостей досліджуваних процесів і об’єктів на об’єкт на основі теорії подібності [1]. Прикладами натурних моделей є макети будівель, ландшафтів, судів, літаків і т. д. У середині XIX ст. з натурних моделей моделювання почало розвиватися як наукова дисципліна, а самі моделі стали активно використовуватися при проектуванні нових технічних пристроїв.

Аналогове - це моделювання, засноване на аналогії процесів і явищ, що мають різну фізичну природу, але однаково описуються формально [1]. В основу аналогового моделювання покладено збіг математичних описів різних об’єктів. Прикладами аналогових моделей можуть служити електричні і механічні коливання, які з точки зору математики описуються абсолютно однаково, але відносяться до різних фізичних процесів.

Ідеальне моделювання поділяють на два основних типи: інтуїтивне і наукове моделювання [2].

Інтуїтивне - моделювання, засноване на інтуїтивному (не обґрунтовані з позицій формальної логіки) поданні про об’єкт дослідження, що не піддається формалізації або не мають потреби в ній [2]. Прикладом інтуїтивної моделі навколишнього світу можна вважати життєвий досвід будь-якої людини, його вміння і знання, отримані від предків. Роль інтуїтивних моделей в науці надзвичайно висока.

Наукове - це завжди логічне обґрунтоване моделювання, що використовує мінімальну кількість припущень, прийнятих в якості гіпотез на підставі спостереження за об’єктом моделювання [2]. Головна відмінність наукового моделювання від інтуїтивного полягає не тільки в умінні виконувати необхідні операції і дії по власне моделюванню, а й в знанні «внутрішніх» механізмів, які використовуються при цьому.

Знаковим називають моделювання, що використовує в якості моделей знакові зображення будь-якого виду: схеми, графіки, креслення, набори символів і т. д. Прикладами таких моделей є мови спілкування, алгоритмічні мови, ноти для запису музичних творів, математичні формули і т. д. Знакова форма використовується для передачі як наукового, так і інтуїтивного знання.

Уявний образ реального об’єкта, що склався в голові дослідника, в науковій літературі називається когнітивної моделлю. Створюючи таку модель, дослідник часто спрощує об’єкт, щоб отримати більш лаконічний і компактний опис. Подання когнітивної моделі на природній мові називається змістовною моделлю. У природничо-наукових дисциплінах і техніці змістовну модель часто називають технічною постановкою проблеми.

За функціональною ознакою і цілям змістовні моделі діляться на описові, пояснювальні, прогностичні.

Описова модель - це будь-який опис об’єкта.

Пояснювальна модель відповідає на питання, чому щось відбувається.

Прогностична модель повинна передбачати поведінку об’єкта.

Концептуальною моделлю називається змістовна модель, при формулюванні якої використовуються поняття і уявлення предметних областей знань, що займаються вивченням об’єкта моделювання.

Концептуальні моделі бувають логіко-семантичними, структурно-функціональними і причинно-наслідковими.

Логіко-семантична модель є описом об’єкта в термінах і визначеннях відповідних предметних областей знань, що включає всі відомі логічне несуперечливе затвердження і факти.

При побудові структурно-функціональної моделі об’єкт зазвичай розглядається як цілісна система, яку розчленовують на окремі підсистеми, пов’язані структурними відносинами. Для подання подібних моделей найчастіше застосовують схеми, діаграми, карти.

Причинно-наслідкова модель часто використовується для пояснення та прогнозування поведінки об’єкта і буває орієнтована, перш за все, на виявлення головних взаємозв’язків між складовими елементами досліджуваного об’єкта, визначення впливу зміни будь-яких чинників на стан компонентів моделі і на розуміння того, як в цілому буде функціонувати модель і чи буде вона адекватно описувати динаміку властивостей об’єкта.

Формальна модель є представленням концептуальної моделі за допомогою формальних або алгоритмічних мов. До формальних відносяться математичні та інформаційні моделі.

З загальнонаукової точки зору математичне моделювання - це ідеальне наукове знакове формальне моделювання, при якому опис об’єкта здійснюється на мові математики, а дослідження моделі проводиться з використанням тих чи інших математичних методів.

З розвитком обчислювальної техніки стали популярні інформаційні моделі, що представляють, по суті, автоматизовані довідники, реалізовані за допомогою систем управління базами даних. Такі моделі дозволяють знайти в базі даних інформацію за запитом і не можуть генерувати нове знання, якого немає у базі даних. У той же час використання інформаційних моделей в поєднанні з досить простими математичними моделями (наприклад, із застосуванням регресійного аналізу) може привести до відкриття нових закономірностей.

У роботах з моделювання технічних систем матеріальне моделювання називають реальним і конкретизують інакше [3]. Видами реального моделювання технічних систем і процесів є натурне і фізичне моделювання. До натурного моделювання відносять науковий експеримент, комплексні випробування, виробничий експеримент. До фізичного моделювання - моделювання в реальному масштабі часу, моделювання в нереальному (зміненому) масштабі часу. При реальному моделюванні дослідження можуть виконуватися на самому об’єкті, на його частини або на його моделі.

Моделювання може бути і уявним. При уявному моделюванні дослідження проводяться на думкообразних конструкціях. Уявне моделювання ділиться на наочне, символічне і математичне.

При наочному моделюванні на базі уявлень людини про реальні об’єкти створюються різні наочні моделі, що відображають явища і процеси, що протікають в об’єкті. Видами наочного моделювання є гіпотетичне і аналогове моделювання та макетування.

В основі гіпотетичного моделювання лежить якась гіпотеза про закономірності перебігу процесу в реальному об’єкті, яка відображає рівень знань дослідника про об’єкт і базується на причинно-наслідкових зв’язках між входом та виходом досліджуваного об’єкта. Гіпотетичне моделювання використовується в тих випадках, коли знань про об’єкт недостатньо для побудови формальних моделей (наприклад, уявлення об’єкта досліджень у вигляді «чорного ящика»).

Аналогове моделювання ґрунтується на аналогіях різних рівнів. Найвищим рівнем є повна аналогія, що має місце тільки для досить простих об’єктів (наприклад, креслення, схема, графік, план, опис якого-небудь явища, процесу або предмета).

Уявне моделювання застосовується в тих випадках, коли процеси, які протікають в реальному об’єкті, не піддаються фізичному моделюванню. Уявне моделювання може передувати іншим видам моделювання.

Символічне моделювання являє собою штучний процес створення логічного об’єкта, який заміщає реальний і висловлює основні властивості його відносин з допомогою певної системи знаків, що відображають набір понять (знакове моделювання), і символів із спеціального словника, очищеного від неоднозначності (мовне моделювання) (приклад знаковою моделі - дорожні знаки, мовної - модель словотворення).

Математичне моделювання буде розглянуто нами окремо і детально далі.

Моделювання може бути статичним і динамічним [3]. Статичним називається моделювання, при якому серед параметрів об’єкта і моделі відсутній час, і самі параметри об’єкта з часом не змінюються. При динамічному моделюванні об’єкт дослідження і його параметри в часі істотно змінюються.

Моделювання може бути детермінованим і стохастичним.

Детерміноване моделювання відображає детерміновані процеси, тобто процеси, в яких передбачається відсутність будь-яких випадкових впливів. Стохастичне моделювання відображає ймовірні процеси і події.

Моделювання може бути дискретним і безперервним. Модель дискретна, якщо вона описує поведінку системи тільки в дискретні моменти часу. Модель безперервна, якщо вона описує поведінку системи для всіх моментів часу з певного проміжку часу. Можливі комбіновані варіанти.

Моделювання може бути повним, неповним і наближеним.

Повним називається моделювання, при якому досягається повна подібність досліджуваного об’єкта, і моделі в часі і в просторі.

Неповним називається моделювання, при якому реалізується неповна подібність досліджуваного об’єкта, і моделі в часі і в просторі.

Наближеним називається моделювання, при якому деякі прояви досліджуваного об’єкта не моделюються зовсім.

 

Функції моделей

 

Прийнято виділяти такі функції моделей [7]:

● модель - засіб осмислення дійсності;

● модель - засіб спілкування;

● модель - засіб навчання і тренування;

● модель - засіб постановки експерименту (комп’ютерний експеримент).

 

Об’єкт дослідження

Об’єкт дослідження (від лат. objectum - предмет) - все те, на що спрямована людська діяльність. Для моделювання та дослідження об’єкта необхідно виділити його з навколишнього зовнішнього світу, а також виявити всі впливи на об’єкт з боку інших навколишніх об’єктів і реакцію досліджуваного об’єкта на ці впливи.

Кожен об’єкт до початку дослідження має свою структуру, свої властивості і характеристики. У теорії моделювання вплив з боку навколишнього світу на об’єкт при його дослідженні називають вхідним впливом і подають у вигляді вхідних факторів (в математичних моделях їх називають вхідними змінними).

Поведінка об’єкта і його прояви в навколишньому середовищі, що виникають від зовнішнього впливу, називають відгуком об’єкта і подають у вигляді вихідних факторів (в математичних моделях - вихідних змінних).

Зовнішній вплив на об’єкт можливо поділити на керуючу та спливаючу дію. Під спливаючою дією зазвичай розуміють вплив на об’єкт з боку навколишнього середовища, параметри і закономірності якого випадковим чином змінюються в часі і недоступні для вимірювання, контролю і тим більше зміни в момент безпосереднього дослідження об’єкта. Під керуючим зазвичай розуміють цілеспрямований вплив на досліджуваний об’єкт, параметри і закономірності якого можуть бути виміряні, проконтрольовані та змінені за бажанням суб’єкта в момент безпосереднього дослідження об’єкта.

Параметри властивостей і структури об’єкта можуть бути відомі (або визначені) на момент початку дослідження об’єкта і надалі змінюватися під зовнішнім впливом, будучи об’єктами вивчення.

Раніше було використано поняття «фактор». У моделюванні фактор - деяка змінна величина, яка приймає в кожний момент часу деяке певне значення зі своєї області визначення і відображає зовнішній вплив на об’єкт або його відгук на цей вплив.

Тоді вхідними факторами можна вважати властивості і структуру об’єкту до початку дослідження, а також керуючий та спливаючий вплив на об’єкт в процесі його дослідження; вихідними факторами - властивості, структуру, поведінку об’єкта, що змінилися під впливом вхідних факторів.

Всі об’єкти мають слідуючі характеристики:

● складність - визначається кількістю станів, в яких може перебувати об’єкт (за цим параметром розрізняють прості об’єкти, складні об’єкти і великі системи);

● керованість - здатність об’єкта переходити з одного стану в інший під впливом ззовні і перебувати в цьому стані з заданою точністю заданий проміжок часу;

● ступінь відтворюваності результатів - якщо спостерігати об’єкт в одному і тому ж стані в різні моменти часу, то різниця в спостереженнях не повинна перевищувати деякого заданого значення (точності вимірювання).

Мова опису об’єкта

Мова опису об’єкта відповідає виду моделювання, який вибирається дослідником (суб’єктом моделювання).

 

Питання для самоконтролю

 

1. Що таке модель?

2. Що таке об’єкт?

3. Що таке процес?

4. Що таке система?

5. Що таке елемент системи?

6. Що таке довкілля?

7. Що таке гіпотеза?

8. Що таке аналогія?

9. Що таке моделювання?

10. Позначте цілі моделювання.

11. Назвіть принципи моделювання.

12. Перерахуйте аксіоми моделювання.

13. Які види моделей існують?

14. Які види моделювання існують?

15. Що таке матеріальне моделювання?

16. Що таке уявне моделювання?

17. Які функції виконують моделі?

18. Від чого залежить модель об’єкта?

19. Що таке фактор, рівень фактора?

20. Що таке складність об’єкта?

21. Що таке завдання?

22. Що таке проблема?

23. Що таке інформація?

24. Назвіть види інформації.

 

 

Складність об’єкта

Всі об’єкти моделювання можна розділити на дві групи: прості об’єкти і об’єкти-системи. При моделюванні простих об’єктів не розглядається внутрішня будова об’єкта, не виділяються складові його елементи або підпроцеси. Простим об’єктом, наприклад, є матеріальна точка в класичній механікі. Для складних систем характерна наявність великої кількості взаємопов’язаних і взаємодіючих елементів. Їх поведінка багатоваріантна. При моделюванні об’єктів-систем виникають великі труднощі. Моделі об’єктів-систем, що враховують властивості і поведінку окремих елементів, а також взаємозв’язку між ними, називаються структурними моделями.

Оператор моделі

Оператор моделі визначається сукупністю рівнянь. Якщо оператор забезпечує лінійну залежність вихідних факторів від вхідних, то математична модель називається лінійної. В іншому випадку модель називається нелінійної.

Параметри моделі

В залежності від виду використовуваних множин параметрів моделі діляться на якісні та кількісні, дискретні і безперервні, змішані.

Цілі моделювання

В залежності від мети моделювання поділяють на дескриптивні, оптимізаційні, управлінські моделі.

Метою дескриптивних моделей є встановлення законів зміни параметрів моделі. Оптимізаційні моделі призначені для визначення оптимальних (найкращих) з точки зору деякого критерію параметрів об’єкта і технологічних режимів. Керуючі моделі застосовуються для прийняття ефективних управлінських рішень.

Метод реалізації моделі

В залежності від методу реалізації поділяють аналітичні та алгоритмічні математичні моделі. Метод є аналітичним, якщо він дозволяє отримати вихідні чинники у вигляді аналітичних виразів. Аналітичні методи бувають алгебраїчними і наближеними. В алгоритмічних моделях математичні співвідношення для об’єкта дослідження замінюються алгоритмом. Алгоритмічні моделі бувають чисельними і імітаційними.

При моделюванні технічних систем і процесів класифікація математичних моделей набуває додаткові ознаки [4]:

● по етапах життєвого циклу створення об’єкта виділяють моделі аналізу, моделі проектування, моделі впровадження і т. д.;

● за рівнем формалізації моделі можна виділити концептуальну модель (для користувача і аналітика), формалізоване, або алгоритмічне, опис і програму-імітатор;

● за методами побудови розрізняють моделі, створені за допомогою аналітичних і статистичних методів.

В основі аналітичних моделей процесів лежать фундаментальні закони тепло- і масопереносу, виражені у вигляді функціональних співвідношень (алгебраїчних, інтегрально-диференціальних, звичайно-різницевих і т. д.). Тому аналітичні моделі описують і розкривають сутність процесів і явищ, що протікають в досліджуваному об’єкті і визначають його властивості та поведінку. Методи дослідження аналітичних моделей: аналітичні (здобувають загальне рішення в явному вигляді і підставляють в нього значення граничних і початкових умов) і чисельні (загальні рішення в явному вигляді замінюються наближеними). Як приклад аналітичних моделей можна назвати диференціальні рівняння.

В основі статистичних моделей лежать результати експериментального дослідження об’єкта. Тому ці моделі також називають емпіричними, ідентифікованими, ймовірносно-статистичними, дослідно-статистичними. Статистичні моделі розглядають досліджуваний об’єкт як «чорний ящик» і не розкривають сутність процесів і явищ, що протікають в ньому, - вони просто відображають одну з можливих залежностей вихідних змінних від вхідних, тобто носять приватний характер на відміну від аналітичних моделей, які мають більш загальний характер.

Приклади емпіричних моделей - кореляційні, регресивні моделі.

 

Питання для самоконтролю

 

1. Що таке математична модель?

2. Що таке математичне моделювання?

3. З чого складається математична модель?

4. Які цілі математичного моделювання?

5. Назвіть види математичних моделей.

6. Що таке аналітична модель?

7. Що таке емпірична модель?

8. Позначте переваги математичного моделювання.

9. На чому ґрунтується математичне моделювання?

10. Перерахуйте вимоги, що пред’являються до математичної моделі.

 

Технології моделювання

Раніше ми розглянули принципи моделювання (принцип інформаційної достатності, принцип здійсненності, принцип множинності моделей об’єкта, принцип агрегатування, принцип параметризації).

Ступінь реалізації цих принципів у кожній конкретній моделі може бути різним, що в значній мірі залежить від дотримання дослідником (суб’єктом моделювання) технології моделювання.

Технології комплексного моделювання являють собою послідовність наступних дій [5]:

1) визначення мети моделювання;

2) розробка концептуальної моделі;

3) формалізація моделі;

4) програмна реалізація моделі;

5) планування модельних експериментів;

6) реалізація плану експерименту;

7) аналіз і інтерпретація результатів моделювання.

Відповідно, загальна схема моделювання має такий вигляд [4]:

1) проблема;

2) постановка задачі;

3) опис вихідних даних;

4) формалізація задачі, вибір часової і просторової шкал моделі;

5) вибір методу побудови моделі;

6) планування експерименту;

7) отримання і обробка експериментальних даних;

8) ідентифікація невідомих характеристик моделі;

9) вибір методу розв’язання задачі;

10) обчислювальний експеримент;

11) аналіз і інтерпретація результатів моделювання;

12) прийняття рішень про використання результатів;

13) практичне використання моделі.

Для прикладного використання в моделюванні технологічних процесів за доцільне розглядати окремо алгоритми побудови аналітичної і емпіричної моделей.

Етап формалізації задачі.

Сучасний математичний апарат вимагає, щоб вирішення задачі було поставлене формально, тобто у вигляді математичної формули.

Відповідно, необхідний перехід від вербального опису апріорної інформації про об’єкт (схеми, тексту, таблиці, графіка та ін.) до кількісних співвідношень між вихідними і вхідними факторами (а в моделі - змінними).

Під формалізацією будемо розуміти «переклад» задачі дослідження і апріорної інформації про об’єкт з мови вербального опису на мову математичного опису.

Формалізація дозволяє підвищити якість і швидкість рішення задач моделювання об’єктів і процесів (так як в абсолютній більшості випадків використовується вже розроблене математичне і програмне забезпечення, наприклад, MATHLAB, MATHCAD, MAPLE, STATISTICA, STSTGRAPHICS і ін.).

Етап побудови моделі.

При побудові аналітичної моделі можна використовувати «моделі-заготовки» - в них підставляють конкретні граничні і початкові умови для вирішення поставленої задачі.

При побудові емпіричної моделі спочатку потрібно провести експеримент. Потім результати експериментальних досліджень обробляються математичним апаратом статистичного аналізу (регресійного, дисперсійного, кореляційного та т. д.). Побудова регресійних моделей буде розглянуто нами далі.

Етап планування та проведення експерименту.

Основою планування експерименту є теорія планування факторного експерименту, яка дозволяє визначити необхідну і достатню кількість дослідів експерименту. В алгоритмі побудови емпіричної моделі цей етап обов’язково передує побудові моделі.

В алгоритмі побудови аналітичної моделі планування та проведення експерименту здійснюється після побудови моделі і виконується для оцінки точності аналітичної моделі. При побудові аналітичних моделей нерідкі випадки, коли для перевірки точності моделі об’єкта, що розробляється, використовуються експериментальні дані, отримані іншими дослідниками в іншому місці і в інший час.

При плануванні експерименту визначаються остаточна кількість самих вхідних факторів і кількість їх рівнів.

Рівень фактору - конкретне значення фактору з його області визначення при експериментальному дослідженні об’єкта.

Сукупність рівнів вхідних факторів об’єкта (по одному рівню від фактору) визначає один стан об’єкта.

Якщо число рівнів всіх вхідних факторів однаково, то число всіх станів об’єкта (Nc) можна визначити за формулою:

,

де k – загальна кількість вхідних факторів;

p – число рівнів кожного фактору.

 

Мета планування експерименту - визначити кількість факторів і їх рівнів для отримання необхідної і достатньої інформації про об’єкт дослідження.

Детально питання планування експерименту будуть розглянуті нами далі.

Питання для самоконтролю

 

1. Назвіть основні етапи алгоритму побудови аналітичної моделі.

2. Назвіть основні етапи алгоритму побудови емпіричної моделі.

3. Відмінності в алгоритмах побудови аналітичної і емпіричної моделей.

4. Назвіть джерела апріорної інформації.

5. Що є результатом аналізу апріорної інформації?

6. Які вимоги пред’являються до вхідних і вихідних факторів?

7. Що таке критерій оптимізації?

8. Види критеріїв оптимізації.

9. Що таке ранг?

10. Що таке формалізація?

11. Що таке інтерпретація?

 

Глава 4. Планування і проведення експерименту

 

Планування експерименту

Вибір рівнів факторів

 

План експерименту - сукупність даних, що визначають число, умови і порядок реалізації дослідів.

Раніше було сказано, що кожен фактор має свою область визначення. Сукупність областей визначення вхідних факторів назвемо факторним простором. Кожна точка факторного простору є цілком певне поєднання конкретних значень вхідних факторів і відповідає одном