Глава 7. Інтерпретація і оптимізація регресійних моделей

 

Інтерпретація моделі

 

Після побудови регресійної моделі, оцінки її адекватності і точності, розрахунку коефіцієнтів регресії переходять до аналізу отриманих результатів. Цей етап називається інтерпретацією.

Інтерпретація - «переклад» результатів математичного опису досліджуваного об’єкта з мови математики на мову користувача (схеми, графіки, таблиці і т. д.).

На етапі інтерпретації оцінюється, наскільки результати (зокрема, модель) відповідають здоровому глузду і існуючої інформації про поведінку і властивості об’єкта. Інтерпретацію можна розглядати як етап, зворотний формалізації.

Позначимо основні кроки інтерпретації.

1. Аналіз значень коефіцієнтів регресії

Технологічні процеси в механізації сільського господарства не належать ні до області мікросвіту, ні до області макросвіту. Якщо значення коефіцієнтів регресії підозріло великі чи малі, то це може бути наслідком помилки в розрахунках. Слід виконати перевірку отриманих результатів.

2. Аналіз знаків перед коефіцієнтами регресії

На цьому етапі встановлюється, якою мірою і як кожен вхідний фактор впливає на відгук об’єкта. Знаки коефіцієнтів регресії вказують на характер впливу вхідних факторів на вихідний фактор. Порівнюючи результати моделювання та апріорну інформацію про об’єкт, можна зробити висновок про придатність отриманої моделі для опису, пояснення і передбачення поведінки і властивостей об’єкта.

3. Аналіз розрахункових значень вихідних змінних (виконується графічно)

На цьому етапі аналізується, наскільки значення вихідного чинника, передбачені по обраної моделі, відрізняються від експериментальних даних. За результатами порівняння також можна зробити висновок про придатність отриманої моделі для опису, пояснення і передбачення поведінки і властивостей об’єкта.

Сучасне програмне забезпечення, яке застосовується для статистичного моделювання (STATISTICA, STATGRAPHICS, SPSS та ін.), дозволяє об’єднати зазначені етапи і виконати інтерпретацію моделі графоаналітичним засобом, тобто використовуючи широкі можливості побудови графіків і поверхонь відгуку.

 

Оптимізація моделі

 

Велика кількість задач управління, планування і проектування пов’язано з проблемою оптимізації, зводиться до відшукання таких значень вхідних факторів, при яких критерій оптимізації досягає екстремуму [13].

Можна виділити два основних підходи до вирішення задачі оптимізації. Перший пов’язаний зі створенням теорії процесу і його детермінованої (або аналітичної) моделі. В цьому випадку для вирішення задачі використовуються методи лінійного, нелінійного і динамічного програмування, принцип максимуму і т. д. [13, 14, 15]. Другий підхід - емпіричний і в даний час використовується значно частіше. З’явилися і емпіричні методи оптимізації - метод Бокса-Уїлсона і симплекс-планування.

При вирішенні задачі оптимізації необхідно вибрати метод пошуку оптимального рішення в залежності від особливостей досліджуваного об’єкта і застосувати його для отримання «найкращих» характеристик або варіантів поведінки об’єкта або впливу на нього. Якщо кількість вхідних факторів (k) дорівнює або більше двох, то графічним відображенням результатів моделювання об’єкта є, відповідно, поверхня або гіперповерхня відгуку. Раніше ми вже говорили, що в цьому випадку вихідний фактор називається критерієм оптимізації.

Вирішуючи задачу пошуку екстремальних значень критерію оптимізації при побудові моделей, слід пам’ятати, що лінійні, ступеневі, експоненціальні, зворотні функції не мають екстремумів. Отже, регресивні моделі на їх основі теж не матимуть екстремумів. Тому, в даному випадку в якості моделей для опису об’єкта доцільніше використовувати поліноми парних ступенів.

Бокс і Уїлсон запропонували кроковий метод дослідження поверхні відгуку - метод крутого сходження (або метод найшвидшого спуску) [13, 14, 15], в основі якого лежить використання градієнта функції. Рух по градієнту забезпечує найкоротший шлях до оптимуму і дає можливість в складній багатофакторної ситуації вести пошук цілеспрямовано.

Градієнтом безперервної однозначної функції називається вектор:

 

 

Градієнт завжди спрямований у бік збільшення функції. Отже, якщо переміщатися по градієнту, то можна досягти максимуму функції відгуку, а якщо рухатися в напрямку, протилежному градієнту, то мінімуму [13]. Сучасне програмне забезпечення, яке використовується для статистичного моделювання (STATISTICA, STATGRAPHICS та ін.), дозволяє досліднику уникнути численних обчислювальних процедур, так як дає можливість графічно відображати результати пошуку екстремумів функції.

Якщо поставлену оптимізаційну задачу не вдалося вирішити, то, швидше за все, слід перенести область проведення експерименту, спланувати і провести експеримент заново, побудувати нові регресійні моделі і спробувати визначити наявність екстремумів (можливо, локальних) критерію оптимізації і відповідних їм значень вхідних факторів.

 

Питання для самоконтролю

 

1. Що таке інтерпретація моделі?

2. Для чого виконується інтерпретація моделі?

3. Позначте етапи інтерпретації моделі.

4. Що таке градієнт функції?

5. Чому при знаходженні максимуму критерію оптимізації можна переміщатися по градієнту?

6. Що робити, якщо не вдалося вирішити задачу оптимізації для досліджуваного об’єкта?