Вимоги до математичної моделі

Створення математичних моделей є головним напрямком сучасного процесу математизації наук (природничих, технічних, гуманітарних). Вище було сказано, що для будь-якого об’єкта можна побудувати безліч моделей, в тому числі і математичних. Щоб математичну модель можна було використовувати для дослідження реального об’єкта, вона повинна відповідати таким вимогам [4]:

● бути практично корисною;

● бути адекватною реальному об’єкту;

● бути адекватною до розв’язування задач.

Аналіз використання моделювання багаточисленними дослідниками дозволяє говорити про те, що математична модель також має відповідати наступним вимогам:

● бути простою в змістовному сенсі і легко інтерпретується;

● бути «адаптованої» до наявним вихідним даним про об’єкт і легко модифікуватися при появі нових даних;

● бути повною з точки зору вирішуваних завдань;

● бути орієнтованою на психологію користувача, простою і зрозумілою йому;

● гарантувати відсутність абсурдних результатів.

 

Структура математичної моделі

 

Математична модель являє собою комбінацію таких елементів:

● змінних (вхідних і вихідних) - завжди мають область визначення;

● параметрів - приймають числові значення;

● функціональних залежностей;

● обмежень (штучних і природних);

● цільових функцій (в задачах оптимізації).

Класифікація математичних моделей

 

Аналіз літературних джерел з моделювання дозволяє класифікувати математичні моделі за такими ознаками [2]:

1. Складність об’єкта моделювання.

2. Оператор моделювання (підмодель).

3. Вхідні і вихідні параметри моделі.

4. Цілі моделювання.

5. Метод реалізації моделі.

Складність об’єкта

Всі об’єкти моделювання можна розділити на дві групи: прості об’єкти і об’єкти-системи. При моделюванні простих об’єктів не розглядається внутрішня будова об’єкта, не виділяються складові його елементи або підпроцеси. Простим об’єктом, наприклад, є матеріальна точка в класичній механікі. Для складних систем характерна наявність великої кількості взаємопов’язаних і взаємодіючих елементів. Їх поведінка багатоваріантна. При моделюванні об’єктів-систем виникають великі труднощі. Моделі об’єктів-систем, що враховують властивості і поведінку окремих елементів, а також взаємозв’язку між ними, називаються структурними моделями.

Оператор моделі

Оператор моделі визначається сукупністю рівнянь. Якщо оператор забезпечує лінійну залежність вихідних факторів від вхідних, то математична модель називається лінійної. В іншому випадку модель називається нелінійної.

Параметри моделі

В залежності від виду використовуваних множин параметрів моделі діляться на якісні та кількісні, дискретні і безперервні, змішані.

Цілі моделювання

В залежності від мети моделювання поділяють на дескриптивні, оптимізаційні, управлінські моделі.

Метою дескриптивних моделей є встановлення законів зміни параметрів моделі. Оптимізаційні моделі призначені для визначення оптимальних (найкращих) з точки зору деякого критерію параметрів об’єкта і технологічних режимів. Керуючі моделі застосовуються для прийняття ефективних управлінських рішень.

Метод реалізації моделі

В залежності від методу реалізації поділяють аналітичні та алгоритмічні математичні моделі. Метод є аналітичним, якщо він дозволяє отримати вихідні чинники у вигляді аналітичних виразів. Аналітичні методи бувають алгебраїчними і наближеними. В алгоритмічних моделях математичні співвідношення для об’єкта дослідження замінюються алгоритмом. Алгоритмічні моделі бувають чисельними і імітаційними.

При моделюванні технічних систем і процесів класифікація математичних моделей набуває додаткові ознаки [4]:

● по етапах життєвого циклу створення об’єкта виділяють моделі аналізу, моделі проектування, моделі впровадження і т. д.;

● за рівнем формалізації моделі можна виділити концептуальну модель (для користувача і аналітика), формалізоване, або алгоритмічне, опис і програму-імітатор;

● за методами побудови розрізняють моделі, створені за допомогою аналітичних і статистичних методів.

В основі аналітичних моделей процесів лежать фундаментальні закони тепло- і масопереносу, виражені у вигляді функціональних співвідношень (алгебраїчних, інтегрально-диференціальних, звичайно-різницевих і т. д.). Тому аналітичні моделі описують і розкривають сутність процесів і явищ, що протікають в досліджуваному об’єкті і визначають його властивості та поведінку. Методи дослідження аналітичних моделей: аналітичні (здобувають загальне рішення в явному вигляді і підставляють в нього значення граничних і початкових умов) і чисельні (загальні рішення в явному вигляді замінюються наближеними). Як приклад аналітичних моделей можна назвати диференціальні рівняння.

В основі статистичних моделей лежать результати експериментального дослідження об’єкта. Тому ці моделі також називають емпіричними, ідентифікованими, ймовірносно-статистичними, дослідно-статистичними. Статистичні моделі розглядають досліджуваний об’єкт як «чорний ящик» і не розкривають сутність процесів і явищ, що протікають в ньому, - вони просто відображають одну з можливих залежностей вихідних змінних від вхідних, тобто носять приватний характер на відміну від аналітичних моделей, які мають більш загальний характер.

Приклади емпіричних моделей - кореляційні, регресивні моделі.