Основні формули теорії ймовірностей

 

Оскільки в практичних умовах багаторазове відтворення досліду надзвичайно утруднено, для визначення ймовірностей одних випадкових подій по відомих ймовірностях інших подій, з ними пов'язаних, користуються теоремами теорії ймовірностей: теоремою додавання й теоремою добутку.

Введемо визначення.

Сумою двох подій А і В називається подія С, що перебуває в появі події А або події В або обох разом:

С = А + В.

Сума подій - логічна сума, вона називається диз'юнкцією й позначається спеціальним знаком:

С = А È В.

Добутком двох подій А і В називається подія С, що перебуває в спільній появі подій А і В:

З = А * В.

Добуток подій - логічний добуток, називається кон’юнкцією і також позначається спеціальним знаком:

С = А Ç В.

Протилежними називаються дві несумісних події А і `А, якщо вони складають повну групу.

Подія А називається незалежною від події В, якщо імовірність події А не змінюється від того, відбулася подія В чи ні. Якщо ж імовірність події А залежить від того, відбулася подія В чи ні, то такі події називаються залежними.

Імовірність події А, обчислена за умови, що подія В мала місце, називається умовною ймовірністю події А і позначається Р(А|В).

Розглянемо приклад. Нехай в урні три кулі, дві з яких білі, а третя - чорна. Одну за іншою з урни виймають дві кулі. Позначимо події

А={перша вийнята куля виявилася білою}

В={друга вийнята куля виявилася білою}.

Імовірність події В залежить від того, відбулася подія А чи ні. Якщо подія А відбулася, то імовірність події В

.

Якщо ж подія А не відбулася, то імовірність події В буде іншою: якщо першою виявилася вийнятою чорна куля, то .

Теорема додавання

Імовірність суми двох несумісних подій А і В дорівнює сумі ймовірностей цих подій, тобто

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) (2.1)

Доведемо це. Нехай дослід має n можливих наслідків, в числі яких m сприяють появі події А і k - появі події В.

Оскільки подія С перебуває в появі події А, якої сприяє m наслідків досліду або події В, якої сприяє k наслідків, то події С сприяють m+k наслідків досліду. Тоді імовірність події С за класичною формулою визначиться в такий спосіб:

.

Слідства теореми додавання:

За методом математичної індукції (узагальнення) теорему додавання ймовірностей можна розповсюдити на будь-яке кінцеве число несумісних подій:

С = SА_i

P(SА_i) = SP(А_i).

Слідство 1. Якщо події А₁, А₂, …, А_i, …, А_n утворюють повну групу несумісних подій, то сума їхніх імовірностей дорівнює 1:

P(SА_i) = SP(А_i) = 1. (2.2)

Слідство 2. Сума ймовірностей двох протилежних подій дорівнює одиниці:

P(A) + P((A) = 1,

звідки імовірність будь-якої випадкової події:

P(A) = 1 - P((A).

У випадку, коли дві події є сумісними, імовірність їхньої суми дорівнює сумі ймовірностей цих подій мінус імовірність їхньої спільної появи:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А*В) (2.3)

Доведемо це. Нехай дослід має n можливих наслідків, в числі яких m сприяють появі події А, k - появі події В і l - появі події АВ.

Оскільки подія С перебуває в появі події А, якої сприяє m наслідків досліду або події В, якої сприяє k наслідків, то події С сприяють m+k-l наслідків досліду. Тоді імовірність події С за класичною формулою визначиться в такий спосіб:

.

 

Теорема множення

Імовірність добутку двох подій А і В дорівнює добутку ймовірності одного з них на умовну ймовірність іншого, обчислену за умови, що перша відбулася:

Р(А * В) = Р(А) * Р(В|А). (2.4)

Доведемо це. Нехай дослід має n можливих наслідків, в числі яких m сприяють появі події А, k - появі події В і l - появі події АВ.

Події АВ, сприяють l наслідків досліду:

; ; ; ; .

Тоді імовірність події АВ визначиться в такий спосіб:

.

Якщо події А і В незалежні, то умовна ймовірність події В дорівнює безумовній імовірності цієї події,

Р(В|А) = Р(В).

Слідство. Імовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

Р(А * В) = Р(А) * Р(В) (2.5)

Якщо маємо кілька незалежних подій:

.

 

Формула повної ймовірності

Формула повної ймовірності є слідством двох теорем теорії ймовірностей. Нехай передбачається проведення досліду, про умови протікання якого можна зробити N взаємовиключних припущень (гіпотез). Умови протікання досліду (гіпотези) являють собою повну групу неспільних подій Н₁, Н₂,…, Н_N, імовірності яких Р(Н_i) відомі. Деяка випадкова подія А може з'явитися при будь-яких умовах протікання досліду з різною ймовірністю. Уявимо подію А як суму несумісних подій:

А=Н₁А+Н₂А+…+Н_NА.

Застосовуючи теореми додавання й множення, дістанемо:

. (2.6)

Таким чином, повна безумовна ймовірність події А з урахуванням випадковості умов протікання досліду дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з гіпотез на умовну ймовірність події А при кожній з гіпотез.