Тема 4. Числові характеристики випадкової величини

 

Закон розподілу випадкової величини являє собою деяку функцію, що цілком описує випадкову величину з імовірнісної точки зору, тобто є її вичерпною характеристикою й дозволяє визначати імовірності будь-яких подій, пов'язаних з випадковою величиною. Однак у багатьох практичних задачах потрібно отримати більш компактне уявлення про випадкову величину. Для теорії ймовірностей і її застосування велику роль грають деякі постійні числа, що одержані за певними правилами із законів розподілу випадкових величин і названі числовими характеристиками випадкової величини. Найважливішою числовою характеристикою випадкової величини є математичне сподівання.

Математичним сподіванням випадкової величини Х називається сума добутків всіх можливих її значень на імовірності цих значень

. (4.1)

Математичне сподівання характеризує середнє значення випадкової величини, навколо якого групуються всі її можливі значення.

На практиці використовується ряд числових характеристик, які характеризують особливості розподілу випадкової величини. Такими характеристиками є так звані моменти або математичні сподівання випадкової величини. Розрізняють початкові a і центральні m моменти.

Початковим моментом s -го порядку дискретної випадкової величини називається математичне сподівання s-го ступеня цієї величини

. (4.2)

Для безперервної випадкової величини початковий момент s -го порядку

. (4.3)

Вираження (4.2) і (4.3) можна об'єднати в одне, користуючись знаком математичного сподівання M:

, (4.4)

тобто початковим моментом s -го порядку випадкової величини називається математичне сподівання s -го ступеня цієї випадкової величини.

При s = 1 дістаємо перший початковий момент або математичне сподівання випадкової величини

. (4.5)

На практиці іноді застосовують другий початковий момент a₂:

(4.6)

 

Центральним моментом s-го порядку випадкової величини X називається математичне сподівання s -го ступеня центрованої величини X. Під центрованою розуміється відхилення випадкової величини від її математичного сподівання:

Центральний момент s-го порядку випадкової величини Х виражається формулою

(4.7)

 

Для дискретної випадкової величини Х:

(4.8)

Для безперервної випадкової величини Х:

(4.9)

Центральний момент першого порядку дорівнює нулю:

.

Центральний момент другого порядку для дискретної випадкової величини Х:

(4.10)

Для безперервної випадкової величини:

(4.11)

Другий центральний момент називається дисперсією. Дисперсія випадкової величини є характеристикою розсіювання цієї величини навколо математичного сподівання. У випадку, якщо це розсіювання відсутнє, величина D_x дорівнює нулю. Дисперсія має розмірність квадрата випадкової величини, що не завжди зручно. Тому як характеристику розсіювання часто використовують середнє квадратичне відхилення Х:

s_х = ÖD_x. (4.12)

Центральні моменти більш високого порядку можуть характеризувати ступінь асиметрії розподілу випадкової величини, крутість кривої розподілу і т. інше.