Нормальний закон розподілу ймовірностей

Цей закон також називається законом Гауса, оскільки був запропонований ним при дослідженні помилок точних вимірювань (помітимо, що помилки грубих вимірювань мають інший розподіл ймовірностей). Закон базується на двох посилках:

1) помилки різного знака, однакові по величині, мають однакову імовірність;

2) малі помилки більш ймовірні, ніж великі (промахи).

Цим посилкам відповідає горбоподібна крива, симетрична щодо середнього значення помилки вимірювання (рис. 5.2.).

Отримана крива апроксимується вираженням:

(5.17)

Звідси видно, що нормальний закон розподілу визначається двома параметрами:

На практиці закон нормального розподілу зустрічається дуже часто. тому що існує велике число нормально розподілених випадкових величин. Якщо відомі параметри m_x і s_x, то із сімейства всіх кривих нормального розподілу виділяють одну з певною щільністю.

Імовірність влучення нормально розподіленої випадкової величини в інтервал значень (a, b) дорівнює інтегралу від щільності розподілу в межах від a до b, але тому що інтеграл від f(x) не береться в елементарних функціях, для визначення ймовірностей, пов'язаних з нормально розподіленою випадковою величиною, користуються функцією Лапласа:

, (5.18)

значення якої приведені в довідкових таблицях.

Імовірність влучення випадкової величини Х на дільницю значень (a, b) виражається через функцію Лапласа формулою:

(5.19)

При обчисленні ймовірностей користуються наступними властивостями функції Лапласа:

1) при х=0 Ф(х)=0;

2) при х=¥ Ф(х)=0,5;

3) при х=-¥ Ф(х)=-0,5;

4) функція Ф(х) є непарною функцією, тобто Ф(-х) =-Ф(х)

 

 

Таким чином, всі можливі значення функції Лапласа належать інтервалу (-0,5;+0,5), причому при |х| > 4 можна вважати, що Ф(х)»±0,5.

Скористаємося формулою (5.16), і визначимо функцію розподілу для випадкової величини, розподіленої нормально:

. (5.20)

Оскільки нормальний розподіл є симетричним, звичайно уявляє інтерес імовірність влучення нормально розподіленої випадкової величини в дільницю значень, симетричну щодо її математичного сподівання (рис 5.4):

Р (|х-m_х| < l)

Для її визначення також скористаємося формулою (5.19).

.

Покладемо тепер l = s_х, тоді:

.

Таким чином, 68 % значень будь-якої нормально розподіленої випадкової величини лежать в інтервалі (m_х±s_х).

Нехай l = 2s_х, тоді:

.

Отже 95 % значень будь-якої нормально розподіленої випадкової величини лежать в інтервалі (m_х±2s_х).

Якщо l = 3s_х, то:

.

Тобто 99,7 % значень будь-якої нормально розподіленої випадкової величини лежать в інтервалі (m_х±3s_х).

Ця властивість називається «правилом трьох сигм».