Біноміальний закон розподілу 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Біноміальний закон розподілу



Дискретна випадкова величина Х має біноміальний закон розподілу (розподіл Бернуллі), якщо її можливі значення: 0, 1,..., n, а відповідні ймовірності визначаються співвідношенням:

(5.1)

де p - імовірність «успіху» в одному досліді, 0<р<1; q=1-p.

Таким чином, розподіл залежить від двох параметрів n і p.

Для визначення числових характеристик випадкової величини, яка має біноміальний закон розподілу, введемо поняття виробляючої функції.

Нехай дискретна випадкова величина Х приймає невід’ємні цілочисельні значення 0, 1, 2,…, k з ймовірностями p1, p2, …, pk (pk=P{X=k}).

Виробляючою функцією для випадкової величини Х називається вираз виду:

(5.2)

де z – довільний параметр, 0<z≤1. Коефіцієнти pk при zk у виробляючій функції дорівнюють ймовірностям того, що випадкова величина Х прийме значення k. Вираження (5.2) залишається справедливим і якщо число значень Х скінченне, тому що при k>n імовірності pk обертаються в нуль.

При z=1 виробляюча функція дорівнює одиниці:

. (5.3)

Візьмемо похідну по z від виробляючої функції:

Нехай z=1, тоді , тобто похідна по z від виробляючої функції при z=1 являє собою суму добутків значень Х на їхній імовірності, а отже є математичним сподіванням Х.

M[X]=mx=j’(1). (5.4)

Візьмемо другу похідну від ((z):

Нехай z=1, одержимо . Перший доданок – другий початковий момент a2, а другий - математичне сподівання Х. Дістанемо вираження другого початкового моменту a2.

a2=j’’(1) + j’(1). (5.5)

Тобто другий початковий момент дорівнює сумі першої й другої похідних виробляючої функції при z=1.

Визначимо числові характеристики випадкової величини Х, розподіленої за біноміальним законом. Запишемо виробляючу функцію:

.

Такий же вигляд має n-я ступінь бінома:

j(z)=(q+pz)n. (5.6)

Візьмемо похідну від вираження (5.6):

j’(z)= np(q+pz)n-1

і підставимо z=1, дістанемо математичне сподівання Х:

mx=j’(1) = np(q+p)n-1= np(1) n-1= np. (5.7)

Для обчислення дисперсії знайдемо другий початковий момент:

a2=j’’(1) +mx

j’’(z)= n(n-1)p2(q+pz)n-2; j’’(1) = n(n-1)p2

a2= n(n-1)p2+ np.

Dx=a2-mx2= n(n-1)p2+ np – n2p2 = n2p2 - np2 + np – n2p2 = np-np2 = np(1-p)=

=npq.

Таким чином, числові характеристики випадкової величини, розподіленої за біноміальним законом мають вигляд:

mx = np; Dx = npq; sx = Önpq. (5.8)

Закон розподілу Пуассона

Можна показати, що при n ® ¥ границя вираження біноміального розподілу дорівнює

.

Отримана формула виражає закон розподілу Пуассона. Таким чином, коли імовірність p появи події А в кожному окремому досліді мала, а число дослідів n велике, біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини може бути приблизно замінений законом Пуассона:

(5.9)

Закон розподілу Пуассона визначається одним параметром а = np, що є одночасно математичним сподіванням і дисперсією випадкової величини Х, розподіленої за законом Пуассона. Розподіл Пуассона з параметром а = np можна приблизно застосовувати замість біноміального, коли число дослідів n дуже велике, а імовірність p дуже мала, тобто в кожному окремому досліді подія А з'являється вкрай рідко. Розподіл Пуассона часто використовується, коли ми маємо справу із числом подій, що з'являються на проміжку часу. Наприклад, число дефектів на новій дільниці шосе довжиною 10 км, число місць витоку води на 100 км водопроводу, число поломок надійного технічного устрою за певний період часу, наприклад, за рік.

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-02-07; просмотров: 392; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.211.203.45 (0.02 с.)