Ймовірності випадкової події

 

Імовірність випадкової події можна визначити класичним методом тільки в обмеженому числі явищ, а саме, якщо наслідки досліду мають наступні властивості:

утворюють повну групу - якщо результатом однократного випробування є обов'язково один з можливих наслідків;

є рівноможливими - якщо за умовами симетрії досліду поява кожного з них однаково можлива;

є несумісними - якщо будь-які два з них не можуть відбутися одночасно.

Якщо наслідки досліду мають перелічені властивості (утворюють повну групу, є несумісними й рівноможливими), то говорять, що дослід зводиться до схеми випадків, або що має місце класична схема теорії ймовірностей. У рамках цієї схеми можна точно підрахувати імовірність події, не проводячи випробувань. Якщо дослід зводиться до схеми випадків, то імовірність події визначається як відношення числа можливих наслідків досліду, що сприяють появі події А, до загального числа можливих наслідків досліду

, (1.1)

де n - загальне число можливих наслідків досліду; m - число наслідків досліду, що сприяють появі події А.

Для підрахунку числа всіх випадків n і числа випадків m, що сприяють появі події А, часто використовують число сполучень із k елементів по s

де k! = 1*2*3... *k, при цьому 0! = 1.

Якщо події в досліді не зводяться до схеми випадків, то оцінку імовірності можна зробити тільки статистично. Спостерігаючи випадкові явища або проводячи випробування, визначають частоту появи даної події. При проведенні серії з n дослідів, у кожному з яких могла з'явитися або не з'явитися подія A, під частотою її появи розуміють відношення

(1.2)

де n - число проведених дослідів; m - число появ події А в n дослідах.

Чи можна вважати частоту появи події А її імовірністю? Результат кожного досліду є випадковим, однак якщо спостережуване явище має статистичну однорідність, то при великій кількості дослідів частота події починає стабілізуватися й у межі прагне до ймовірності події. Це властивість стійкості частот, багаторазово перевірена експериментально, і є одна з найбільш характерних закономірностей, спостережуваних у випадкових явищах. Вона відома за назвою закону великих чисел. Бернуллі довів, що

. (1.3)

Вираз (1.3) читається так: імовірність події А із збільшенням числа дослідів n сходиться за імовірністю до імовірності події А. Це означає, що зі збільшенням числа дослідів n імовірність, що частота події А відрізняється від імовірності цієї події зменшується.

 

 

Тема 2. Операції над подіями. Теореми теорії ймовірностей.