Формула Бейеса (теорема гіпотез)

Ця формула дозволяє за відомими до проведення досліду (апріорним) ймовірностями гіпотез Р(Н_i) і за результатом досліду (наступ події А) визначити обчислені після досліду (апостеріорні) імовірності гіпотез Р(Н_i|А).

За теоремою множення імовірність появи події А при i-й гіпотезі

Р(Н_i*А)= Р(Н_i)*Р(А|Н_i)

у чинність симетрії подій справедливо

Р(Н_i*А)= Р(А)*Р(Н_i|А),

звідки дістанемо

,

або, якщо підставити Р(А) з формули (2.6), дістанемо

(2.7)

Таким чином, формула Бейеса дозволяє переоцінити імовірності гіпотез після того, як стає відомим результат досліду, в результаті якого відбулася подія А.

Формула Бернуллі

На практиці доводиться зіштовхуватися з такими задачами, які можна представити у вигляді багаторазово повторюваних незалежних випробувань. Якщо імовірність появи події А в одному досліді та сама, то імовірність m появ події А в n дослідах можна визначити за формулою Бернуллі

(2.8)

де - імовірність того, що в n випробуваннях подія А з'явиться рівно m разів;

- число сполучень із n елементів по m;

р - імовірність появи події А в одному досліді;

q = 1 - p - імовірність не появи події А в одному досліді.

Користуючись формулою Бернуллі, можна дістати найімовірніше число появ події А.

Найімовірнішим числом появи події А в n незалежних дослідах називається таке число, для якого імовірність перевищує або, принаймні, не менше ймовірності кожного з інших можливих чисел появи події А. Для визначення найімовірнішого числа користуються формулою:

np – q £ m₀ £ np + p (2.9)

причому, m₀ — може бути тільки цілим числом. Якщо np - ціле число, то m₀=np.

Локальна теорема Лапласа

Локальна теорема Лапласа дає асимптотичну формулу, що дозволяє приблизно знайти імовірність появи подій рівно m разів в n дослідах, якщо число випробувань досить велике.

Якщо імовірність р появи події А в кожному випробуванні постійна й відмінна від нуля й одиниці, то імовірність P_n(m) того, що подія А з'явиться в n дослідах рівно m разів, приблизно дорівнює, і тим точніше, чим більше n, значенню функції

, (2.10)

де , а значення функції визначаються з довідкових таблиць. Функція j (х) парна, тобто j (-х) = j (х).

 

Інтегральна теорема Лапласа

Якщо в повторних незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність появи події А постійна й дорівнює р, необхідно обчислити ймовірність того, що подія А з'явиться в n випробуваннях не менше m₁ і не більше m₂ разів, це можна зробити за допомогою інтегральної теореми Лапласа.

Якщо імовірність р настання події А в кожному випробуванні постійна й відмінна від нуля й одиниці, то приблизно імовірність P_n(m₁,m₂), того, що подія А з'явиться у випробуваннях від m₁ до m₂ разів,

, (2.11)

де ;

При розв'язанні задач користуються спеціальними таблицями, тому що невизначений інтеграл (2.11) не виражається через елементарні функції. У довідкових таблицях приводяться значення інтеграла . Функція Ф(х) непарна, тобто Ф(-х) = -Ф(х). Таблиця містить значення функції Ф(х) тільки для х Î [0; 5]; для х > 5 приймають Ф(х) = 0,5.

Таким чином, приблизно імовірність того, що подія А з'явиться в n незалежних дослідах від m₁ до m₂ разів.

P_n(m₁,m₂) = Ф(х")-Ф(х'), (2.12)

 

Формула Пуассона

Якщо імовірність р настання події в окремому випробуванні близька до нуля, то навіть при великій кількості випробувань n, але при невеликому значенні добутку np одержувані за формулою Лапласа значення ймовірностей Р_n(m) виявляються недостатньо точними й виникає потреба в іншій наближеній формулі.

Якщо імовірність р настання події А в кожному випробуванні постійна, але мала, число незалежних випробувань n досить велике, але значення добутку np залишається невеликим (не більше десяти), то імовірність того, що в цих випробуваннях подія А наступить m разів, можна визначити за формулою Пуассона:

(2.13)

 

 

Змістовий модуль 2