Елементи дисперсійного аналізу

Дисперсійний аналіз - метод математичної статистики, який застосовують для аналізу результатів спостережень, які залежать від різних одночасно діючих факторів. Задачі дисперсійного аналізу - вибір найбільш важливих факторів, оцінка їхнього впливу і т.інше.

Метод дисперсійного аналізу розробив англійський статистик Р.Фішер. В основі методу лежить порівняння дисперсій. На практиці дисперсійний аналіз застосовують у задачах, де потрібно оцінити вплив деякого фактору F на кількісну ознаку X. Суть дисперсійного аналізу зводиться до порівняння дисперсії, обумовленої впливом фактору F (факторної дисперсії) з дисперсією, обумовленою випадковими причинами (залишковою дисперсією). Очевидно, коли вплив фактору F є значимим, то й відмінність факторної дисперсії від залишкової дисперсії повинна бути значимою. І навпаки, якщо вплив фактору незначимий, то факторна й залишкова дисперсія відрізняються незначимо.

Нехай значення ознаки X отримані в результаті спостереження p різних груп досліду із числом спостережень в j-й групі, рівним q. Середнє значення ознаки X у кожній j-й групі (групова середня) визначиться за формулою

 

 

Результати спостережень зведені в таблицю:

Номер досліду	Номер групи
			…	j	…	p
	x11	x12	…	x1j	…	x1p
	x21	x22	…	x2j	…	x2p
…	…	…	…	…	…	…
i	xi1	xi2	…	xij	…	xip
…	…	…	…		…
q	xq1	xq2	…	xqj	…	xqp
групова середня			…		…

 

Загальне число спостережуваних значень ознаки X дорівнює pq. Загальна середня визначається за формулою

Можна оцінити повне розсіювання ознаки X, викликане як випадковими причинами, так і впливом фактору F, визначивши суму квадратів відхилень всіх спостережуваних значень x_ij від загальної середньої. Вона називається загальною сумою квадратів відхилень і визначається за формулою

(11.12)

Вважають, що фактор F впливає на різні групи значень ознаки. Розсіювання за фактором або розсіювання між групами можна оцінити, визначивши суму квадратів відхилень групових середніх від загальної середньої. Її називають факторною сумою квадратів відхилень і визначають за формулою

(11.13)

Уважають, що на значення ознаки в j-й групі фактор F впливає однаково, а їхнє розсіювання обумовлене впливом випадкових причин. Суму квадратів відхилень спостережуваних значень ознаки Х від своєї групової середньої `х_грj називають залишковою сумою квадратів відхилень. Залишкова сума квадратів відхилень характеризує розсіювання всередині групи й визначається формулою:

(11.14)

де

Можна показати, що справедливе співвідношення

S_общ = S_факт + S_ост, (11.15)

яке найчастіше використовують для визначення залишкової суми квадратів відхилень

S_ост = S_общ - S_факт. (11.16)

Оскільки дисперсійний аналіз припускає порівняння дисперсій, то використовуючи загальні, факторну й залишкову суми квадратів відхилень, визначають відповідні дисперсії.

Загальна дисперсія:

(11.17)

де pq-1 = n-1 - число ступенів свободи загальної дисперсії.

Факторна дисперсія:

(11.18)

де p-1 - число ступенів свободи факторної дисперсії; p - число груп впливу фактору F.

Залишкова дисперсія:

(11.19)

де p(q-1) - число ступенів волі залишкової дисперсії, обумовлене як різниця між числами ступенів свободи загальної й факторної дисперсій:

(pq - 1) - (p -1) = p(q-1).

Припустимо, що вплив фактора F відсутній. У цьому випадку групові середні `х_грj приймають різні значення в результаті впливу тільки випадкових причин, а виходить, розрізняються незначимо. Відповідно факторна й залишкова дисперсії є незміщеними оцінками невідомої генеральної дисперсії й також розрізняються незначимо. У такій задачі формулюють нульову гіпотезу про рівність факторної й залишкової дисперсій. Якщо зрівняти оцінки цих дисперсій за критерієм F, то критерій укаже, що гіпотезу можна прийняти.

Якщо нульова гіпотеза про рівність групових середніх (а отже факторної й залишкової дисперсій) помилкова, то зі зростанням розбіжності між груповими середніми буде збільшуватися факторна дисперсія й спостережуване значення критерію F. При F_набл > F_кр нульова гіпотеза про рівність факторної й залишкової дисперсій буде відкинута.

Таким чином, для того, щоб перевірити нульову гіпотезу про рівність групових середніх нормальних сукупностей з однаковими дисперсіями, варто перевірити за критерієм F нульову гіпотезу про рівність факторної й залишкової дисперсій. Причому, якщо факторна дисперсія виявиться менше залишкової, то із цього витікає справедливість гіпотези про рівність групових середніх, і F-критерій можна не обчислювати.