Властивості вибіркових числових характеристик

Будь-які значення вибіркових характеристик, обчислені на підставі обмеженого числа елементів вибірки, містять елемент випадковості. Очевидно, що обробка декількох вибірок однакового об'єму дасть ряд різних оцінок відповідної числової характеристики. Отже, оцінки числових характеристик є випадковими величинами на відміну від самих числових характеристик, значення яких не випадкові. Необхідно, щоб помилка від заміни правдивого значення числової характеристики його наближеною оцінкою була мінімальною. Такій вимозі задовольняють оцінки числових характеристик, що мають властивості спроможності, незміщеності й ефективності.

Оцінка параметра а* є спроможною, якщо при n®¥ вона сходиться за імовірністю до оцінюваного параметра а:

. (9.8)

Зокрема, на підставі теореми Чебишева вибіркова середня , визначена за формулами (9.1) і (9.2), є спроможною оцінкою генеральної середньої . Формули (9.5) дають спроможну оцінку генеральної дисперсії.

Оцінка параметра а* є незміщеною (тобто не містить систематичної помилки), якщо її математичне сподівання дорівнює оцінюваному параметру а:

M[a*] = a. (9.9)

Вибіркова середня , визначена за формулами (9.1) і (9.2), є лінійною функцією n незалежних випадкових величин x_i, тому вона сама є випадковою величиною, а отже має свої числові характеристики: математичне сподівання й дисперсію. Покажемо, що математичне сподівання вибіркової середньої не залежить від числа дослідів n і дорівнює генеральній середній:

.

Визначимо дисперсію оцінки вибіркової середньої:

, (9.10)

звідки одержимо середнє квадратичне відхилення вибіркової середньої:

. (9.11)

Очевидно, що зі збільшенням числа дослідів n прагне до нуля, що свідчить про прагнення до невипадкової величини .

Таким чином, вибіркова середня є незміщеною оцінкою генеральної середньої.

Розглянемо вибіркову дисперсію. Можна показати, що математичне сподівання вибіркової дисперсії, визначене за формулою

(9.12)

не дорівнює генеральної дисперсії, тобто є зміщеною оцінкою:

Користуючись цією оцінкою, ми будемо робити систематичну помилку в меншу сторону. Щоб її позбутися, варто ввести виправлення – помножити оцінку дисперсії, отриману за формулою (9.12), на n/(n-1). Незміщена оцінка дисперсії називається також виправленою дисперсією. Вона позначається S² і визначається за формулою:

(9.13)

Можна показати, що S² є незміщеною оцінкою генеральної дисперсії:

.

Якщо число спостережень n велике, то значення вибіркової дисперсії, обчисленої за формулою (9.12) практично збігається зі значенням, обчисленим за формулою (9.13). При n >50 вони практично не відрізняються.

Оцінка параметра а* є ефективною, якщо при заданому об'ємі вибірки вона має найменшу дисперсію. Ступінь ефективності оцінюють відношенням дисперсій:

, (9.14)

тобто якщо F>1, то s²₂ більш ефективна, і навпаки.

Якщо на підставі статистичних даних необхідно визначити оцінки числових характеристик системи двох випадкових величин Х і У, то крім вибіркових середніх і вибіркових дисперсій знаходять оцінку кореляційного моменту за формулою:

(9.15)

Наведені оцінки є спроможними й незміщеними.