Тема 10. Елементи теорії кореляції

 

Метою кореляційного аналізу є визначення форми залежності між випадковими величинами X і Y і оцінка тісноти зв'язку між ними.

Залежність

y = f(x), (10.1)

в якій кожному значенню X відповідає одне певне значення Y,називається функціональною.

Одному значенню випадкової величини Х x_i може відповідати ряд значень Y: в₁, в₂, …, у_k, що може бути викликано впливом різних факторів на випадкову величину Y або помилками виміру. У цьому випадку залежність називається статистичною. Для кожного значення x_i можна визначити умовне середнє `у_i (рис. 10.1).

 

 

 

Рис. 10.1 – Статистична залежність.

 

Статистичною називається залежність між X і Y, при якій зі зміною випадкової величини X змінюється розподіл випадкової величини Y. Якщо при зміні X змінюється середнє значення Y, то така статистична залежність називається кореляційною.

`y_x = j(x) (10.2)

Кореляційний аналіз заснований на використанні рівняння регресії.

Регресією Y на X називається умовне математичне сподівання випадкової величини Y за умови, що Х прийняла значення х_i. Лінія, що з'єднує точки `y_i, називається лінією регресії. Для апроксимації лінії регресії аналітичним вираженням використовують рівняння регресії. На практиці найчастіше використовують лінійне рівняння регресії:

Y = r_yx x + b (10.3)

Коефіцієнт при х r_yx називається коефіцієнтом регресії.

 

Метод найменших квадратів

Для визначення значень параметрів r_yx і b рівняння регресії (10.3) застосовується метод найменших квадратів (МНК), що дозволяє при відомому класі залежності `y_x = j(x) так вибрати їхні значення, щоб вона щонайкраще відображала дані спостережень.

При використанні МНК вимога найкращого узгодження `y_x = j(х) з дослідними даними зводиться до того, щоб сума квадратів відхилень кривої, що згладжує залежність, від експериментальних точок оберталася в мінімум:

. (10.4)

де y_i – значення Y, отримані в результаті спостережень;

y_iр - розрахункові значення Y, отримані за вираженням кривої, що згладжує j (х).

Якщо всі виміри провадилися з однаковою точністю й помилки вимірів розподілені за нормальним законом, то знайдена залежність буде найбільш ймовірною із всіх можливих у даному класі функцій.

З огляду на те, що y_iр = j(х_i), вираження (9.4) можна записати у вигляді

(10.5)

Невідомі параметри шуканої залежності визначають, записавши її не тільки як функцію аргументу х, але і як функцію невідомих параметрів a_j.

(10.6)

Умова (10.6) виконується, якщо всі часткові похідні суми квадратів відхилень за параметрами a_j будуть дорівнювати нулю. Часткові похідні дають систему m+1 рівнянь із m+1 невідомими, розв'язання якої дає шукані параметри a_j, що задовольняють умові (10.5).

Дістанемо для лінійного рівняння регресії (10.3) методом найменших квадратів вираження для коефіцієнта регресії r_ух і вільного члена b. Для цього підставимо в (10.6) вираження (10.3)

Для відшукання мінімуму візьмемо похідні за параметрами r_ух і b і дорівняємо їх до нуля, дістанемо систему рівнянь:

, (10.7)

з якої в результаті перетворень отримаємо:

(10.8)

звідки виразимо r_ух і b

 

(10.9)