Порівняння двох дисперсій нормальних генеральних сукупностей

Нехай є дві незалежні вибірки й варто визначити, чи взяті вони з нормальних генеральних сукупностей X і Y з однаковою дисперсією. Запишемо нульову гіпотезу:

H₀: D[X] = D[Y], (11.6)

і сформулюємо альтернативну гіпотезу:

H₁: D[X] ¹ D[Y]. (11.7)

Як критерій для перевірки нульової гіпотези про рівність дисперсій нормальних генеральних сукупностей приймають випадкову величину, що являє собою відношення більшої дисперсії до меншої:

де .

Нульова гіпотеза припускає, що дві вибірки незалежні й узяті з нормальних генеральних сукупностей з однаковими дисперсіями, у цьому випадку F=1. Однак, навіть якщо гіпотеза вірна, то малоймовірно, що s₁ прийме точно таке ж значення, як s₂ через вплив випадковості. Таким чином, завдання полягає в тому, щоб перевірити, чи буде випадкова величина F досить близька до одиниці.

Випадкова величина F має розподіл Фішера, що залежить тільки від ступенів свободи k₁=n₁-1 і k₂=n₂-1, де n₁ і n₂ об'єм вибірки з більшою й з меншою вибірковими дисперсіями відповідно, і не залежить від інших параметрів.

Для перевірки нульової гіпотези (10.6) при конкуруючій гіпотезі (10.7) будують двосторонню критичну область, що відповідає рівню значимості a. Двостороння критична область визначається двома нерівностями:

F < F_кр1;

F > F_кр2,

а область прийняття гіпотези:

F_кр1<F<F_кр2

причому, імовірність влучення критерію в кожний із двох інтервалів критичної області дорівнює a/2.

 

Критерії згоди

Якщо по вибірці спостережень визначався закон розподілу генеральної сукупності, то виникає необхідність оцінити розбіжність між емпіричним і теоретичним розподілами. Для цього використовують критерії згоди, які дозволяють судити, якою є розбіжність між емпіричним і теоретичним розподілами - випадковою або значимою.

Якщо розбіжність виявиться випадковою, то вважають, що дані спостережень (вибірки) не суперечать висунутій гіпотезі про закон розподілу генеральної сукупності й, отже, гіпотезу приймають; якщо ж розбіжність виявиться значимою, то дані спостережень суперечать гіпотезі, і її відхиляють. Як міру розбіжності використовують деяку величину U.

Є декілька критеріїв згоди: критерій c² (Пірсона), критерій Колмогорова, критерій Романовского і т. інше.

Пірсон запропонував як міру розбіжності використовувати суму квадратів відхилень (p_i^* - p_i), узятих з деякими вагами c_i, тоді

, (11.8)

де p_i^* – частота появи ознаки Х на i-м інтервалі;

p_i - теоретична ймовірність тої ж події;

k - число інтервалів;

с_i – ваговий коефіцієнт, який враховує, що відхилення (p_i^* - p_i), які належать до різних груп ряду, не можна вважати рівноправними за значимостю, тому що те саме за абсолютною величиною відхилення може бути малим для великого p_i і істотним для малого p_i.

Пірсон показав, що якщо прийняти

, (11.9)

то величина U при збільшенні n наближається до величини c², розподіл якої залежить тільки від числа ступенів свободи

r = k - s, (11.10)

де k - число інтервалів; s - число зв'язків (число незалежних умов).

Підставивши (11.9) в (11.8) і врахувавши, що , дістанемо:

. (11.11)

Чим більше погодяться емпіричний і теоретичний розподіли, тим менше розрізняються емпіричні й теоретичні частоти й тем менше значення c²_P. Звідси витікає, що c²_P характеризує близькість емпіричного й теоретичного розподілів.

Існують довідкові таблиці, в яких указана ймовірність того, що в результаті впливу випадкових факторів величина c² прийме значення не менше обчисленого за даними вибірки.

Для визначеності приймають рівень значимості a (звичайно a = 0,1-0,15). Якщо імовірність, знайдена за таблицями, опиниться менше a, то це означає, що в результаті впливу випадкових причин наступила подія, яка практично неможлива. Таким чином, той факт, що c² прийняла значення c²_P не можна пояснити випадковими причинами. Це можна пояснити тим, що генеральна сукупність не розподілена за передбачуваним законом розподілу й, виходить, висунута гіпотеза про закон розподілу генеральної сукупності повинна бути відкинута. Якщо імовірність, знайдена за таблицями, перевищує a, то гіпотеза про закон розподілу генеральної сукупності погодиться з даними спостережень і тому може бути прийнята.