Тема 12. Елементи теорії випадкових процесів

 

Поняття випадкового процесу

Функція Х аргументу t називається випадкової, якщо при кожному заданому значенні аргументу t величина Х є випадковою. Вид, прийнятий функцією Х у результаті досліду, називається реалізацією функції Х.

Процеси, описувані випадковими функціями, називаються випадковими або стохастичними.

 

На рис. 12.1 показане сімейство реалізацій випадкової функції Х(t).

 

 

Імовірнісні характеристики випадкового процесу є функціями часу. Якщо зафіксувати час t, то випадкова функція перетворюється в звичайну випадкову величину, що може приймати різні значення й має деякий закон розподілу зі своїми параметрами. Будемо називати цю величину перетином випадкової функції, що відповідає даному t.

Закон розподілу однієї випадкової величини є функція одного аргументу. Закон розподілу системи двох випадкових величин - функція двох аргументів і т.інше. Однак користування функціями багатьох аргументів як імовірнісні характеристики настільки незручно, що звичайно розглядають тільки їхні числові характеристики. Обмежимося розглядом найпростіших характеристик випадкових функцій, аналогічних числовим характеристикам випадкових величин. Апарат числових характеристик дозволяє порівняно просто вирішувати багато практичних задач.

На відміну від числових характеристик випадкових величин, що представляють собою певні числа, характеристики випадкових функцій являють собою не числа, а функції.

Математичним сподіванням випадкової функції X(t) називається невипадкова функція, що при кожному значенні аргументу t дорівнює математичному сподіванню відповідного перетину випадкової функції:

m_x(t) = M[X(t)].

Дисперсією випадкової функції X(t) називається невипадкова функція D_x(t), значення якої для кожного t дорівнює дисперсії відповідного перетину випадкової функції:

D_x(t) = D[X(t)].

Таким чином, математичне сподівання - це деяка середня функція аргументу t, біля якої різним образом варіюються конкретні реалізації випадкової функції. Дисперсія випадкової функції при кожному t характеризує розкид можливих реалізацій випадкової функції щодо середнього.

Однак для опису основних особливостей випадкових функцій цих характеристик недостатньо.

 

Х1(t)

t

Х2(t)

 

У випадкових функцій Х₁(t) і Х₂(t) на рис. 12.2 і 12.3 приблизно однакові математичні сподівання й дисперсії, але характер цих випадкових функцій різко відрізняється. Для Х₂(t) характерна яскраво виражена залежність між її значеннями при різних t (якщо при t₁ вона прийняла значення менше середнього, те ж і при t₂ - менше середнього). Випадкова функція Х₁(t) має різко коливальний характер з безперервними безладними коливаннями. Для такої функції характерне швидке загасання залежності між її значеннями в міру збільшення відстані по t між ними.

Внутрішня структура розглянутих процесів зовсім різна, і для її опису вводять спеціальну характеристику - кореляційну функцію. Кореляційна функція характеризує ступінь залежності між перетинами випадкової функції, що ставляться до різних t.

Кореляційною функцією випадкової функції Х(t) називається невипадкова функція двох аргументів K(t, t'), що при кожній парі значень t, t' дорівнює кореляційному моменту відповідних перетинів випадкової функції:

. (12.1)

Таким чином, якщо повернутися до малюнків 12.2 і 12.3, кореляційна функція Х₂(t) повільно убуває зі збільшенням проміжку (t, t’), а кореляційна функція Х₁(t) убуває швидко.

Якщо аргументи кореляційної функції К_х збігаються, тобто t = t’, то

, (12.2)

тобто при t = t' кореляційна функція звертається в дисперсію випадкової функції Х(t).

Таким чином, необхідність у визначенні дисперсії випадкової функції відпадає. Як основні характеристики випадкової функції досить розглядати її математичне сподівання й кореляційну функцію.