Составить Закон распределения числа попаданий в цель при четырех выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,9.

Решение. Случайная величина Х – число попаданий в цель при четырех выстрелах – может принимать значения 0,1,2,3,4, а соответствующие им вероятности находим по формуле Бернулли:

Итак, искомый закон распределения имеет вид (табл.8):

Таблица 8 - Закон распределения числа попаданий в цель при четырех выстрелах

Х	0	1	2	3	4
Р	0,0001	0,0036	0,0486	0,2916	0,6561

Математическое ожидание. Среди числовых характеристик ДСВ весьма важной является математическое ожидание, которое указывает, какое среднее значение случайной величины следует ожидать в результате испытаний или наблюдений.

Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности:

M(X)= (17)

Пример.

Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон распределения (табл.9):

Х	-1	0	1	2	3
Р	0,2	0,1	0,25	0,15	0,3

Таблица 9 - Закон распределения ДСВ

По формуле находим

М(Х)=-1∙0,2+0∙0,1+1∙0,25+2∙0,15+3∙0,3=1,25

Дисперсия.

Дисперсией ДСВ называется математическое ожидание квадрата ее отклонения:

D(X)=M(X-M(X))² (18)

Более удобной для вычисления является формула:

D(X)=М(Х²) – (М(Х))² (19)

Пример.

Дискретная случайная величина распределена по закону (табл.10):

Таблица 10 - Закон распределения ДСВ

Х	-1	0	1	2
Р	0,2	0,1	0,3	0,4

Найти D(X).

Находим сначала

М(Х)=-1∙0,2+0∙0,1+1∙0,3+2∙0,4=0,9, а затем

М(Х²)=1∙0,2=0∙0,1+1∙0,3+4∙0,4=2,1.

D(X)=2,1-0,9²=2,1-0,81=1,29

Среднее квадратическое отклонение ДСВ.

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.

σ(Х)= (20)

Раздел 6. Основы теории комплексных чисел

Определение комплексного числа в алгебраической форме, действия с комплексными числами

Во множестве действительных чисел нельзя решить уравнение . Расширяя действительные числа, введем число - мнимая единица: . Тогда, уравнение будет иметь решение .

Алгебраическая форма комплексного числа

Определение. Комплексным числом называется число , где x -называется действительной частью комплексного числа и обозначается ; называется мнимой частью комплексного числа и обозначается . Такая запись комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа.

Пример. . , .

Определение. Модулем комплексного числа называется величина .

Определение. Аргументом комплексного числа называется число: . Главное значение аргумента обозначается: arg z= или .

Пример.

Определение. Два комплексных числа , называются равными , если , .

Определение. Комплексное число равно 0, если и .

Определение. Число называется сопряженным комплексному числу ,причем .

Пример. ; .

Сложение и умножение комплексных чисел производится по правилам сложения и умножения алгебраических многочленов; учитывая при этом, что и т.д.

Пусть

.

Замечание.