Понятие производной. Правила и формулы дифференцирования. Производная сложной функции

Рассмотрим задачу: Точка движется по параболе неравномерно. Дана парабола и два промежутка (1; 2) и (3; 4). Найти скорость движения точки по параболе в указанных промежутках.

Решение:

- средняя скорость движения точки на указанном промежутке.

Найдем среднюю скорость движения точки на первом промежутке. Рассмотрим рисунок 1. Здесь и . Подставив

 

эти значения в функцию , получим и . Тогда .

Аналогично при и находим и . Тогда .

Рисунок1 - Движение точки по параболе

Чем меньше промежуток, тем точнее средняя скорость выражает действительную скорость движения точки по параболе.

Значение скорости движения точки в общем виде выражают формулой: - производная функции .

Создатели: Лейбниц, Ньютон, Эйлер.

Определение: Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю

Дифференцирование – это операция нахождения производной функции.

 

Пример: Найти производную функции по определению.

Решение: Будем искать производную по определению

Получаем следующее выражение:

.

Дифференцирование состоит из двух этапов:

¾ применение правил дифференцирования;

¾ применение формул дифференцирования.

 

Правила и формулы дифференцирования.

 

С – const; u, v – функции

1.

2. –для конечного числа слагаемых

3.

4.

Таблица 1 - Таблица производных

 

	8.	13.
	9.	14.
;	10.	15.
	11.	16.
	12.	17.

 

Примеры:

1)

Применяем правило: , получим: , т.к. ;

2)

Применяем правило: , получим: , т.к. ;

3)

Применяем правило: , получим: , т.к. ;

4)

Применяем правило: , получим: , т.к. ;

5)

Применяем правило: , получим: , т.к. ;

Аналогично:

6) , получим: ;

7)

По формуле , получим: ;

Аналогично:

8) , получим: ;

9) , получим: ;

10)

По правилу , получим: ;

11)

Применяем правило: , получим:

;

12)

Применяем правило: , получим:

;

Решите самостоятельно:

а) ;

б) (по правилу умножения и по правилу частного)

Производная сложной функции

Пусть дана сложная функция y=g(u), где u=f(x).

Теорема 1. Если функция u=f(x) дифференцируема в некоторой точке x, а функция y=g(u) определена на множестве значений функции f(x) и дифференцируема в точке u=f(x), то сложная функция y=g(f(x)) в данной точке x имеет производную, которая находится по формуле

 

или (3)

 

Примеры:

1) Найти производную функции

Данная функция является сложной степенной функцией y= u⁹, где

u = . Поэтому получим:

2) Найти производную функции

Эта функция также является сложной степенной функцией, а именно

, где u= . Поэтому

 

Применение производной к исследованию функций и построению графиков