Вычисление вероятностей простых и сложных событий

Вероятность события

В повседневной жизни в разговоре часто используется слово "вероятный". Например, " завтра, вероятно, пойдет дождь", "вероятнее всего команда выиграет матч" и т.д. При употреблении этого слова интуитивно оценивают возможность того или иного события. При такой оценке помогает здравый смысл и жизненный опыт. Но встречаются события, сравнить или оценить возможность наступления которых, основываясь на чисто интуитивных соображениях, трудно. Например, события - герб появился три раза при пятикратном бросании монеты, или появилась цифра. У монеты две стороны, появление герба и цифры - равновозможные события. Поэтому заранее с большей уверенностью сказать какое же событие вероятнее трудно. Поэтому необходима некоторая оценка события. Такой оценкой является вероятность.

Определение: Вероятность события - это численная мера объективной возможности его появления.

Таким образом, каждому событию в соответствие ставится число - его вероятность. Пусть имеется, полня группа событий попарно несовместных и равновозможных. Вероятность Р(А) наступления события А вычисляется как отношение числа исходов (элементарных событий), благоприятствующих наступлению события А к общему числу исходов испытания. Если N общее число исходов испытания, а М число благоприятствующих исходов, то вероятность события А равна

(15)

Эта формула называется классической формулой вероятности.

Примеры:

Пример1. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8?

Подсчитаем сначала общее количество исходов: каждый из двух кубиков может упасть любой из шести граней. Бросание кубиков осуществляем последовательно, тогда по правилу умножения всего возможных исходов 36. Перечислим благоприятствующие нашему событию исходы. Составим таблицу 5:

 

Таблица 5. Благоприятствующие событию исходы

 

Число очков на 1-ом кубике
Число очков на 2-ом кубике
Сумма очков

Всего благоприятствующих исходов пять. По классической формуле получаем, что вероятность события равна Р=5/36 ~ 0,14.

Пример 2. В урне 7 белых и 5 черных шаров. Наудачу вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что: а) все шары белые; б) два черных и один белый.

Общее количество исходов это количество сочетаний из 7+5=12 по 3:

Количество благоприятствующих исходов для события -все шары белые- это число сочетаний из 7 по 3:

Тогда вероятность этого события равна Р=35/220 ~ 0,16.

Количество благоприятствующих исходов для события - два черных и один белый: первое действие - выбор черных шаров, можно выполнить С₇² способами, второе действие - выбор одного черного шара можно выполнить 5 способами. По правилу умножения количество благоприятствующих исходов равно

Тогда вероятность этого события рвана Р=105/220 ~ 0,48.

 

Рассмотрим свойства вероятности:

1. Вероятность достоверного события равна 1. Действительно, если событие достоверное, то любой исход является благоприятствующим, тогда N=M, а значит Р=1.

2. Вероятность невозможного события равна 0. Действительно, любой исход не будет благоприятствующим, т.е. М=0, тогда Р=0/N=0.

3. Вероятность события А удовлетворяет неравенству

Достоинством классического определения вероятности является возможность вычислить вероятность события непосредственно, т.е. не прибегая к опытам, их заменяют логическими рассуждениями.

 

Дискретные случайные величины (ДСВ). Законы распределения ДСВ. Числовые характеристики ДСВ

Случайной величиной называют такую переменную величину, которая под воздействием случайных факторов может с о пределенными вероятностями принимать те или иные значения из некоторого множества чисел.

Случайная величина Х называется дискретной, если результаты наблюдений представляют собой конечный или счетный набор возможных чисел.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соотношение, устанавливающее связь между отдельными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Соответствие между возможными значениями x₁, x₂,…,x_n случайной величины Х и их вероятностями p₁, p₂,…,p_n называется законом распределения случайной величины Х.

Закон распределения случайной величины может быть представлен в виде таблицы:

Таблица 6 - Закон распределения случайной величины

Х	x1	x2	…	xi	…	xn
Р	p1	p2	…	pi	…	pn

Сумма вероятностей равна единице, т.е. p₁+ p₂+…+p_n=1.

Биномиальное распределение. Пусть случайная величина Х- число появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна p, а непоявления – q=1-p. Очевидно, что Х может принимать значения 0,1,2,…,n, вероятности которых определяются по формуле Бернулли:

, m =1,2,3… n. (16)

Закон распределения случайной величины Х, имеющий вид (табл.7):

Таблица 7 - Биномиальное распределение случайной величины Х.

Х	0	1	2	…	m	…	n
Р

называется биномиальным распределением.

Пример.