Основные операции над множествами

1. Включение

Множество А входит (включено) в множество В, или А является подмножеством В.

Если всякий объект, обладающий свойством , также обладает свойством , то говорят, что свойство включает свойство , т.е.

2. Объединение

Сумма множеств А и В есть множество С, включающее в себя все элементы множество А и В.

Объект входит во множество если он входит во множество А или во множество В.

3. Пересечение

Пересечением множество А и В называется новое множество С. Элементы множества С принадлежат множеству А (обладают его свойствами) и множеству В (обладают его свойствами).

4. Разность

Разность множеств А и В есть множество С, элементы которого обладают свойствами множества А и не обладают свойствами множества В или принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

5. Дополнение

Если имеется некоторое универсальное множество (универсум) U и все рассматриваемые множества есть его подмножества, то дополнением называется такое множество, элементы которого не входят в А, но принадлежат U.

 

 

Таблица 4 - Связь между логическими операциями и операциями над множествами.

 

Отрицание	Дополнение
Конъюнкция	Пересечение
Дизъюнкция	Объединение
Импликация	Разность

 

Будем называть вектором (кортежем) упорядоченный набор элементов и обозначать его , заметим, что в отличие от множества, элементы в векторе могут повторяться. Эти элементы называются координатами или проекциями.

Количество элементов в векторе называется его длиной, если в векторе 2 элемента, то - пара, если n элементов, то - n-ка.

5. (Диаграммы Эйлера - Венна)

А

В

 

 

Рисунок 10 -

 

А

В

 

Рисунок 11 -

 

А

В

 

Рисунок 12 -

А

А

U

 

Рисунок 13 -

Декартово произведение (прямое) множеств А₁,А₂,…А_п назыв. множество А₁×А₂×…А_п, состоящее из всех кортежей длины к.

Например, декартовым произведением множеств А= и В= будет являться множество пар А×В =

Раздел 5. Основы теории вероятностей и математической статистики

 

Элементы комбинаторики: размещения, перестановки,

Сочетания

Основная задача комбинаторики – пересчет и перечисление элементов в конечных множествах.

Если нас интересует, сколько элементов принадлежащих данному конечному множеству обладают некоторым свойством, то это задача пересчета.

Если необходимо выделить все элементы множества, об­ладающие заданными свойствами, то это задача перечисления.

Рассмотрим следующие элементы комбинаторики, позволяющие решать вышеупомянутые задачи. К таким объектам относятся:

1. перестановки (с повторением и без них);

2. размещения (с повторением и без них);

3. сочетания (с повторением и без них);

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок обозначается

 

(без повторений) (9)

 

Перестановки с повторениями вычисляются по формуле:

 

(10)

 

где - число повторений элементов каждого вида.

Пример 39. Определим, сколько различных слов можно составить из слова «литература».

В слове «литература» п₁ =1 буква «л», п₂ =1 буква «и», п₃ =2 буквы «т», п₄ =1 буква «е», п₅ =2 буквы «р», п₆ =2 буквы «а», п₇ =1 буква «у».

 

Тогда из слова «литература» можно составить Р(п₁,п₂,п₃,п₄,п₅,п₆,п₇)= различных слов.

Сочетанием называются такие комбинации элементов, которые отличаются между собой в каждой группе только самими элементами (но не порядком их расположения в группе).

 

(без повторения) (11)

 

(с повторением) (12)

 

Пример 40. В почтовом отделении продаются открытки п =5 видов. Определим число способов покупки т =7 открыток.

Число способов покупки открыток равно числу сочетаний с повторениями из п =5 элементов по т =7 элементов и равно .

Размещением называются такие комбинации элементов, которые отличаются между собой или самими элементами или порядком их расположения в группе.

 

(без повторения) (13)

 

(с повторением) (14)

 

Пример 41. Определим, сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 3,5,6,7,8.

Составление четырехзначных чисел из пяти цифр – размещение из п =5 элементов по т =4 элемента с повторениями. Тогда всего можно составить чисел.