Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур

Найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), осью Ох и двумя прямыми х = а и х = в, где а≤ х≤ в, f(x)≥0 (рис.5)

 

Рисунок 5 - Криволинейная трапеция

Так как дифференциал переменной площади S есть площадь прямоугольника с основанием dx и высотой f(x), т.е. dS=f(x)dx, то, интегрируя это равенство в пределах от а до в, получим

 

Если криволинейная трапеция прилегает к оси Oy так, что c≤y≤d, x=φ(y)≥0 (рис.6),

Рисунок 6 - Криволинейная трапеция прилегает к оси Oy

то дифференциал переменной площади S равен dS=f(y)dy, откуда

 

(5)

 

В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой y=f(x), осью Ох и прямыми х = а и х = в, лежит под осью Ох (рис.7),

Рисунок 7 - Криволинейная трапеция лежит под осью Ох

площадь находится по формуле

 

(6)

 

Если фигура, ограниченная кривой y=f(x), осью Ох и прямыми х = а и х = в, расположена по обе стороны от оси Ох (рис.8),

 

Рисунок 8 - Криволинейная трапеция расположена по обе стороны от оси Ох

то

(7)

 

Пусть, наконец, фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми y=f₁(x) и y=f₂(x) и прямыми х = а и х = в, где a≤x≤b и f₁(x)≤ f₂(x) (рис.9).

Рисунок 9 - Фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми y=f₁(x) и y=f₂(x)

Тогда ее площадь находится по формуле

 

(8)

Раздел 4. Основы дискретной математики

 

Множества. Операции над множествами. Бинарные

Отношения

Множество – совокупность элементов, обладающих каким-то одним общим свойством.

Предметы, составляющие множество, называются его элементами. Говорят, что они принадлежат множеству. Символически это записывается так: а∈А.

Множества будем обозначать загл. буквами (А,В,С), а элементы – маленькими (а,в,с). Запись а∉А означает, что элемент а не принадлежит множеству А.

Пример 1. Пусть А – множество делителей числа 12. Тогда 2 ∈А, а 5 ∉А.

Если каждому элементу множества можно присвоить номер и этот номер не повторяется, то такое множество называется счетным или конечным.

Если такого номера для каждого элемента не существует, то такое множество называется бесконечным.

Бесконечное множество часто называют континуумом (например: совокупность точек на плоскости).

Если можно пересчитать все число элементов в счетном множестве, то эта сумма называется мощностью множества.

2. Множества можно задать следующим образом.

· Перечислением всех входящих в него объектов. - множество десятичных цифр.

· Описанием свойств, которыми должны обладать элементы множества. Например, множество четных чисел, меньших 10, можно задать в след. виде: М= или , причем справа от наклонной черты указано свойство элементов этого множества. Этот способ называется аналитическим.

Любую часть множества А, выбранную по определенному признаку, называют подмножеством, и обычно обозначают буквой со штрихом, т.е. :

, где ⊂ - символ включения.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают ∅.

Свойства счетных множеств

1. Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно

Подмножеством множества А называется множество А` все элементы которого принадлежат множеству А

Пример:

2. Сумма конечного или счетного числа конечных или счетных множеств есть конечное или счетное множество.

3. Множество всех рациональных чисел счетно.

4. Алфавитом называется любое непустое множество.

Элементы множества под названием АЛФАВИТ называют буквами (символами).

Символом в данном алфавите любая конечная последова­тель­ность букв.

Для каждого множества А существуют множества, элементами которого являются только все его подмножества.

Такое подмножество называют семейством множеств А или булеаном. (обозначается В(А))