Периодичное начисление cложных процентов

Количество начислений cложных процентов в течение года оказывает влияние на величину накопления. Если вклад в сумме 1000 руб. хранить 2 года в банке, начисляющем 12% годовых, то в зависимости от количества начислений процентов в течение года накопленная сумма составит:

а) ежегодное начисление процента

F_V= 100*(1+0,12)² = 1000 × 1,2544= 1254,4 руб.;

б) полугодовое начисление процента

F_V= 100*(1+0,06)^2*2 = 1000 × 1,2625 = 1262,5 руб.;

в) ежеквартальное начисление процента

F_V= 100*(1+0,03)^4*2 = 1000 × 1,2668 ⁼ 1266,8 руб.;

г) ежемесячное начисление процента

F_V= 100*(1+0,001)^2*12= =1000 × 1,2697 = 1269,7 руб.

Следовательно, чем чаще периодичность начисления сложных процентов, тем большую накопленную сумму получит инвестор за тот же период времени при той же годовой процентной ставке.

При нескольких периодах начислений в течение года необходимо откорректировать процентную ставку и число периодов начисления процентов.

Процентная ставка данного периода

i_m = i *m/12, (7)

гдеm - число периодов начислений в течение года. Тогда общее число периодов начисленийравно произведениюm *n,

где n – число лет начислений

F_V= P_V (1 + i_m) ^{m n} (8)

Для определения периода, необходимого для удвоения первоначального вклада, используется правило 72-х. Это правило дает наиболее точные результаты, если процентная ставка находится в интервале от 3 до 18%.

Правило 72 –x: удвоение первоначального вклада произойдет через число периодов, равное частному от деления 72 на процентную ставку соответствующего периода.

Пример 10. Годовая ставка 9%, начисление процентов осуществляется ежегодно. Когда произойдет удвоение? Ответ: через 8 лет, так как 72: 9=8.

Непрерывное начисление процентов

Если сложный процент начисляется очень часто, а периодичность начисления стремится к бесконечности, то мы получим непрерывное начисление процентов. Непрерывные проценты представляют главным образом теоретический интерес и редко используются на практике. Они применяются в особых случаях, когда вычисления необходимо производить за бесконечно малые промежутки времени.

Формула для такого случая имеет вид:

 

F_V= P_V е ^{n i}_n (9)

где i_n- непрерывно начисляемый процент;

n – период времени начисления процента;

е - основание натурального логарифма 2,71828….

Зачастую банки, предоставляя долгосрочные кредиты, используют изменяющиеся во времени, но заранее фиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В этом случае наращенная сумма может быть определена по формуле:

F_V= P_V (1+i₁) ⁿ₁(1+i₂) ⁿ₂^.…(1+i_k)ⁿ_k (10)

где i₁, i₂, i_k – ставки начисленных в данный период процентов, доли единицы;

n₁, n₂, n_k – количество периодов, в конце которых начисляются доходы по ставкам i₁, i₂, i_k.

Пример 11. Фирма получила кредит в банке на сумму 100 тыс руб.сроком на 5 лет. Процентная ставка по кредиту в первый год определена в 26%, для 2-го года предусмотрена надбавка к процентной ставке в размере 1%, для 3-го и последующих лет – в размере 1,5% по сравнению со вторым годом. Определить сумму долга, подлежащую погашению в конце срока займа, если доход реинвестируется.

Согласно формуле (3.8) имеем

F_V = 100(1+0,26)(1+0,27)(1+0,285)³ =434,6 тыс. руб.

Дисконтирование

Как было отмечено ранее, в финансовых вычислениях возникает необходимость сравнивать между собой различные суммы денег, поступающих в разные моменты времени. Чтобы правильно осуществить сравнение, их необходимо привести к единому временному знаменателю. В практике финансовых вычислений принято приводить суммы средств, которые получил инвестор, к сегодняшнему дню. Символ функции - P_V.

Формула дисконтирования:

P_V = F_V /(1 + i) ⁿ (11)

где P_V - текущая стоимость;

F_V - известная в будущем сумма;

i- процентная ставка;

n- число периодов начисления процентов.

Множитель 1/(1 + i) ⁿ называется коэффициентом дисконтирования.

Для определения коэффициента дисконтирования используются данные: таблицы типа А (Приложение 1, табл. А-1); таблицы типа Б (Приложение 2, колонка № 4).

Функция дисконтирования дает возможность определить настоящую (текущую, сегодняшнюю) стоимость суммы, если известны ее величина в будущем за данный период накопления и процентная ставка. Настоящая стоимость, а также текущая или приведенная стоимости являются синонимичными понятиями.

Пример 12. Какую сумму необходимо поместить на депозит под 10% годовых, чтобы через 5 лет (3 года) накопить 1500 (532,4) тыс. руб.?

1. Используем таблицу типа Б (Прил.2, колонка № 4).

1) Найдем в Приложении 2 страницу, соответствующую процентной ставке 10%.

2) В колонке № 4 найдем множитель для периода дисконтирования 5 лет. Он равен 0,6209 (для 3 лет – 0,75131).

3) Рассчитаем сумму вклада

- в размере 1500 тыс. руб.

P_V = 1500 × 0,6209 = 931,4 тыс. руб.

- в размере 532,4 тыс. руб.

P_V = 532,4 × 0,75131 =400 тыс. руб.

2. Используем таблицу типа А (Прил.1, табл. А-1).

1) На пересечении колонки, соответствующей процентной ставке 10 % и периода дисконтирования 5 лет находим множитель 0,6209 (для 3 лет – 0,75131)

2) Рассчитаем сумму вклада:

- в размере 1500 тыс. руб.

P_V = 1500 × 0,6209 = 931,4 тыс. руб.

- в размере 532,4 тыс. руб.

P_V = 532,4 × 0,75131 =400 тыс. руб.

Таким образом, инвестирование 931,4 (400) тыс. руб. на 5 лет (на 3 года) при ставке дохода 10% обеспечит накопление в сумме 1500 (532,4) тыс. руб.

Функция дисконтирования является обратной по отношению к функции сложного процента (коэффициента наращения).

Методы наращения и дисконтирования играют важную роль в финансовом анализе, так как являются инструментарием для оценки потоков платежей (cash flows).