Понятие оценки стоимости денег во времени, функции сложного процента

Принятие инвестором решения о вложении денежных ресурсов (капитала) в какой-либо актив (реальный, финансовый) определяется величиной дохода, который он прогнозирует получить в будущем. Вкладывая деньги в финансовые активы (приобретая облигации или вкладывая деньги на депозитный счёт в банк), инвестор рассчитывает получать в течение определённого периода времени доход в виде купонного дохода или начисленных процентов, а по окончании этого срока получить номинальную цену облигации (цену погашения) или основную сумму вклада (долга). Вложение капитала в эти активы будет выгодным для инвестора (кредитора) тогда, когда суммарные предполагаемые денежные поступления (доходы) превысят его первоначальные расходы. Чтобы оценить, как проходит сравнение первоначальной суммы вложений с будущими денежными поступлениями с учетом фактора времени, рассмотрим следующие понятия.

Доход в денежной форме, выплачиваемый кредитору за пользование его деньгами, принято называть процентом или процентными деньгами. Этот процент является абсолютной величиной, начисляется на основную сумму вклада по определенной процентной ставке, с определенной периодичностью. Процентная ставка – это отношение процентных денег (процента), полученных за единицу времени (как правило, за год), к основной сумме вклада; измеряется в процентах или долях единицы. Следует различать банковскую учётную ставку и истинную процентную ставку. Банковская учётная ставка показывает заниженную стоимость займа. Если, например, банковская учётная ставка будет равна 8 %, то истинная процентная ставка составит 8,7% ((0,08/ (1-0,08))*100). Так, если предприятие берёт кредит в размере 100 тыс. руб. на 1 год, а банк сразу удерживает процентные выплаты, например 28 %, и выдаёт 72 тыс. руб., то истинная процентная ставка будет равна 38,9 % ((28/72)*100).

Практика уплаты процентов основывается на теории наращения денежных средств по арифметической (простые проценты) или геометрической (сложные проценты) прогрессии.

Получаемые доходы (положительные денежные потоки) и инвестированный капитал (отрицательные денежные потоки), как правило, не совпадают по времени возникновения и, следовательно, будут несопоставимы. Поэтому кроме дохода в процессе сделки и стоимостной характеристики, т. е. размера вклада, кредита или стоимости ценной бумаги, рассматривается и временная характеристика – сроки выплат, длительность периода, отсрочка платежей и т.д.

Приведение денежных сумм, расходуемых и получаемых в разное время, к одному моменту времени (к сопоставимому виду) нашло воплощение в формулировке принципа оценки денежных потоков во времени. Такая оценка денежных потоков основана на использовании шести функций сложного процента или шести функций денежной единицы. К этим функциям относят:

-сложный процент;

-дисконтирование;

-текущая стоимость аннуитета;

-будущая стоимость аннуитета;

-периодический взнос на погашение кредита;

-периодический взнос в фонд накопления.

Использование перечисленных функций сложного процента в теории и практике базируется на следующих допущениях.

1. Денежный поток – это денежные суммы, возникающие в определённой хронологической последовательности.

2. Денежный поток, в котором все суммы различаются по величине, называют обычным денежным потоком.

3. Денежный поток, в котором все суммы равны, называется аннуитетом.

4. Одинаковые промежутки времени, через которые возникают суммы денежного потока, называют периодом.

5. Денежный поток может возникать в конце, в начале и в середине периода.

6. Доход, получаемый на инвестированный капитал, из хозяйственного оборота не изымается, а присоединяется к сумме вложенного капитала и участвует в дальнейшем инвестировании (в дальнейшей капитализации, доход реинвестируется).

7. Временная оценка денежных потоков учитывает неопределённость и риски, связанные с инвестированием.

8. Неопределённость – это неполнота и неточность информации об условиях инвестирования, о затратах инвестора и о возможных результатах.

9. Риск – это неопределённость, связанная с возможностью неполучения в будущем дохода, совпадающего с прогнозируемой величиной (получения слишком большого дохода или вообще неполучения дохода). Степень риска оценивается вероятностью получения ожидаемого дохода: чем выше вероятность получения прогнозной величины, тем меньше степень риска.

10. Уровень (степень) риска должен иметь адекватную ставку дохода (процентную ставку) на вложенный капитал.

11. Ставка дохода в данный период на вложенный капитал (процентная ставка) – это процентное соотношение между чистым доходом, получаемым в данный период, и суммой вложенного капитала. Эту величину также называют доходностью на вложенный капитал.

12. Приведение денежных потоков к сопоставимому виду может быть осуществлено с помощью формул, которые будут рассмотрены далее, или с помощью так называемых множительных таблиц (Приложения 1 и 2 учебного пособия «Оценка стоимости ценных бумаг» Политковская И.В.). Таблицы могут быть двух типов: данные сгруппированы по видам функций сложного процента (талицы типа А) и по величине процентной ставки (таблицы типа Б). Данные, приведённые в таблицах сложных процентов применимы без корректировки только к денежному потоку, возникающему в конце периода. Для применения таблиц типа А необходимо определить используемую функцию (коэффициент дисконтирования, коэффициент дисконтирования (текущей стоимости) аннуитета, коэффициент наращения или коэффициент наращения аннуитета) и на пересечении строки, соответствующей периоду начислений, и столбца, соответствующего величине процентной ставки, найти её значение. Таблицы типа Б сгруппированы по величине процентной ставки. При их применении необходимо сначала найти страницу, где указана величина годовой процентной ставки и периодичность начисленияпроцентов (ежегодное или ежемесячное). Затем на пересечении столбца, совпадающего с искомой функцией (коэффициент наращения, коэффициент наращения аннуитета, коэффициент взноса в фонд накопления - коэффициент фонда возмещения, коэффициент дисконтирования, коэффициент дисконтирования аннуитета - текущей стоимости аннуитета, коэффинциент взноса на погашение кредита), и строки, соответствующей количеству периодов начисления, найти искомый множитель.

При оценке эффективности финансовых и реальных инвестиций прежде всего следует учитывать время и условия генерируемых денежных потоков (процентов, дивидендов, доходов, затрат, прибыли). В процессе определения эффективности инвестиций возникает необходимость перехода от оценок будущих поступлений и оттоков к значениям их стоимости в настоящий (текущий) момент времени. Так, например, процедура приведения ожидаемых в будущем выплат по ценным бумагам (дивидендов, купонных доходов, номинальной цены) к текущему моменту времени с помощью функций дисконтирования используется для определения внутренней стоимости ценных бумаг (акций, облигаций).

Функция простого процента

Техника простого процента предполагает арифметическую зависимость между суммой вклада, процентной ставкой и периодом начисления. Простой процент начисляют от первоначальной суммы один раз в конце каждого периода депозитного договора. При этом предполагается, что доход в конце каждого периода снимается со счёта (доход не прибавляется к первоначальной сумме), и на депозитном счете остаётся только первоначальная стоимость вклада. В случае начисления простых процентов будущая стоимость вложений (F_V) равна сумме первоначальной стоимости (P_V) и процента, определяемого как произведение процентной ставки (i), первоначальной суммы вклада и количества периодов начисления процентов.

Для одного периода начисления процентов формула определения будущей стоимости будет иметь вид:

 

F_V =P_V + i^хP_V (1)

где i – размер процентной ставки в долях единицы. Эта величина имеет и другие названия: рыночная ставка, ставка доходности.

Сумму дохода (d) или сумму процентных денег, начисленных за один период, можно рассчитать по формуле

d= i^хP_V (2)

Пример 1. Определите сумму дохода и будущую стоимость вложений. Денежные средства в размере 3000 руб. помещены на депозит в банке сроком на 1 год под 10% годовых.

Решение

Определяембудущую стоимость вложений (наращенную сумму вклада) по формуле 1.

F_V = 3000 + 0,1* 3000 = 3300 руб.

Определяем сумму дохода:

i^хP_V = 0,1 * 3000= 300 руб.

Как было сказано выше, при начислении процентов по технике простого процента за 2,3, …n периодов предполагается, что в конце каждого периода сумму дохода снимаетя со счёта, т.е. проценты за каждый следующий период начисляют с первоначальной суммы P_V. Так, для двух периодов начисления формула (1) примет вид

F_V = P_V + i* P_V + i *P_V = P_V (1+2* i),

для n периодов начисления:

F_V = P_V (1+ n* i). (3)

Сумма дохода, или сумма процентных денег, за n периодов начисления составит

 

d = n *i *P_V.

Таким образом, формула простого процента предполагает, что будущая стоимость в данном периоде определяется путем прибавления дохода данного периода к будущей стоимости предыдущего периода, причем процентная ставка каждый раз берётся от первоначальной стоимости вложений: в конце каждого периода доход снимается со счета, на котором остается только первоначальная сумма P_V.

Если простые проценты начисляют в течение периода времени t, меньшего одного года, формула (2) принимает вид

F_V = P_V (1+ t* i /T), (4)

где t – число дней начисления процента в течение года;

i – размер процентной ставки, доли единицы;

Т – длительность финансового года в днях.

Формулу (4) используют:

- при обслуживании текущих счетов предприятий;

- при расчёте суммы долга с процентами при сроке операции, меньшем одного года;

- при составлении планов погашения задолженности и т.д.

При расчётах с клиентами значения t и T могут быть выражены точно: в году 365 или 366 дней, в месяце 28, 29, 30 или 31 день; или приближённо: 360 дн ., 30 дн .; в некоторых случаях t может быть выражено точно, а T приближённо. Приближённые расчёты используют при некоторых видах операций с населением. Выбор значения Т зависит от того, с каким финансовым инструментом работает инвестор. Так, в банковской системе год считается равным 360 дням (Т=360); в расчётах по операциям с государственными краткосрочными облигациями год приравнивается 365 дням (Т=365).

Пример 2. Предприятие получило от банка кредит под 25% годовых на 3 года, с начислением простых процентов за каждый год. Погашение долга будет осуществлено в конце срока единовременным платежом в размере 910 тыс. руб. Каков размер полученной от банка ссуды?

Из формулы (3) получаем

P_V = F_V /(1+ n* i) = 910 /(1+3 *0,25) = 520 тыс. руб.

Пример 3. Подкакой процент годовых получен от банка кредит в размере 450 тыс. руб. на пять лет с начислением простых процентов за каждый год? Долг гасится единовременным платежом в конце срока и составляет 1035 тыс. руб.

Из формулы (3) получим

i = ((F_V/ P_V)– 1):n =((1035/450) –1):5 = 0,26 или 26%.

Пример 4. Предприятие положило в банк на депозит сумму в размере 2,5 млн. руб. на 2 года под 7% годовых без капитализации дохода. Определите будущую стоимость вложения.

Согласно формуле (3) получим

F_V = P_V(1+ n * i) = 2,5*(1+ 2*0,07)=2,85 млн. руб.

Пример 5. В каком размере был предоставлен кредит, взятый под простые проценты, если годовая ставка составляет 28%, срок займа 3 месяца, а по его окончании следует погасить задолженность единовременным платежом в размере 760 тыс. руб.?

Из формулы (4) находим

P_V = F_V/(1 + t *i /T) = 760/(1 + 0,28*3/12)=710,28 тыс. руб.

Пример 6. Предприятию предоставлен кредит в 100 тыс. руб. под 25% годовых с 01.03 по 01.06 текущего года. Определите подлежащую возврату сумму при приближённых значениях t и Т.

Согласно формуле (4) при t = 90 дней и Т = 360 дней получим

F_V = P_V (1 + t* i /T) = 100(1+90*0,25/360) =106,25 тыс. руб.

где6.25 тыс. руб. ( 106,25-100 ) -процентные деньги, уплаченные за пользование кредитом. Их называют стоимостью (или ценой) кредита.

Пример 7. Рассчитайте подлежащую возврату сумму при тех же значениях кредита и процентной ставки, что и в предыдущем примере, но при условии точного измерения показателя t и приближённого измеренияпоказателя Т:

Согласно формуле (4) при Т = 360 дней и учитывая, что в марте 31 день, в апреле 30 дней, в мае – 31 день, получим

F_V = 100(1+ 0,25*(31+30+31)/360) = 106,389 тыс. руб.

Вывод. Что мы видим?.....

Следует помнить о том, что при заключении кредитного соглашения банком может быть установлена постоянная на весь период или изменяющаяся (переменная) процентная ставка. Если устанавливается переменная ставка, будущая стоимость при начислении простых процентов будет определяться по формуле

F_V =P_V (1+ i₁ /m₁+i₂/m₂+..+ i_t /m_t) (5)

где i_t – ставка простых процентов в период t;

m_t – количество периодов начислений по ставке i _t.

Пример 8. Банк предлагает клиенту-заёмщику следующие условия предоставления кредита на 1 год: первое полугодие 40% годовых, каждый следующий квартал годоваяставка возрастает на 4%.Проценты начисляются только на первоначальную сумму кредита. Определите наращенную сумму долга, если пеовоначальная сумма кредита составляла 50 тыс. руб.

По формуле (2.5) имеем

F_V = 50*(1+0,4/2+0,44/4+0,48/4)=71,5 тыс. руб.

Техника исчисления по простым процентам используется при анализе краткосрочных ценных бумаг.

Сложный процент

Понятие о сложном проценте

 

Сложные проценты широко применяются в долгосрочных финансовых операциях, со сроком проведения более одного года. Вместе с тем они могут использоваться и в краткосрочных финансовых операциях, если это предусмотрено условиями сделки, либо вызвано объективной необходимостью (например, высоким уровнем инфляции, риска и т.д.). При этом база для исчисления процентов за период включает в себя как исходную сумму сделки, так и сумму уже накопленных к этому времени процентов. Про такой способ инвестирования говорят, что проценты реинвестируются или участвуют в дальнейшей капитализации. Техника исчисления сложных процентов является базой для количественного анализа операций с долгосрочными ценными бумагами.

Таким образом, сложный процент – это процент, который начисляется на первоначально инвестируемую сумму и на начисленные в предыдущие периоды проценты. Функция сложного процента представляет собой геометрическую зависимость между первоначальным вкладом, процентной ставкой и периодом накопления (в случае начисления процентов один раз в год).

Данная функция позволяет определить будущую стоимость суммы, которой располагает инвестор в настоящий момент, исходя из предполагаемых ставки дохода, срока накопления и периодичности начисления процентов.

 

F_V = P_V (1 + i)ⁿ , (6)

где F_V - величина накопления, руб.;

P_V - сумма первоначального вклада, руб.;

i- процентная ставка;

n- число лет начисления процентов.

Множитель называют коэффициентом наращения. Данная формула является алгоритмом, позволяющим решать разнообразные инвестиционные задачи.

Для решения практических задач с использованием формулы (3.1) для определения коэффициента наращения можно использовать данные Приложений 1 и 2: таблицы типа А (А3); таблицы типа Б (колонка № 1) учебного пособия «Оценка стоимости ценных бумаг».

Пример 9. Какая сумма будет накоплена вкладчиком через три года, если первоначальный взнос составляет 300 тыс. руб., проценты начисляются ежегодно по ставке 9%?

1.Первый вариант решения основан на использовании таблицы типа Б.

1) Найдем в таблице типа Б страницу, соответствующую ежегодной процентной ставке 9%.

2) В колонке № 1 найдем множитель, соответствующий заданному периоду накопления.

3) Период накопления - 3, множитель - 1,29503.

4) Рассчитаем сумму накопления:

F_V =300*(1+ 0,09)³ = 300*1,29503 = 388,509 тыс. руб.

2. Второй вариант решения основан на использовании таблицы типа А.

1) В табл. А-3 на пересечении колонки, соответствующей процентной ставке (9%), и строки, соответствующей году начисления процентов (3 года), найдем множитель 1,29503.

2) Рассчитаем сумму накопления:

F_V =300*(1+ 0,09)³ = 300*1,29503 = 388,509 тыс. руб.

Таким образом, сложный процент предполагает начисление процентов не только на сумму первоначального взноса, но и на сумму процентов, накопленных к концу каждого периода. Это возможно только в случае реинвестирования суммы начисленных процентов, т.е. присоединения их к первоначальной сумме инвестированного капитала.