Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки в пространстве. Параметрическое уравнение прямой. Нахождение точки пересечения прямой и плоскости.

Чтобы точка M лежала на прямой L, вектор M₁M должен быть параллелен вектору q. Условие параллельности векторов состоит в пропорциональности сходственных координат, из чего следует

(1)

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точкиM₁(x₁,y₁,z₁) и M₂(x₂,y₂,z₂) получим из уравнения (1), приняв, что направляющий вектор

(2)

и подставив выражение (2) в (1):

(3)

Приравняв выражение (1) параметру t, получим параметрические уравнения прямой.

(4)

Эти уравнения имеют наглядное физическое истолкование. Если принять что, t −время, а вектор скорости, то уравнения (4) − это три проекции уравнения движения точки на координатные оси.

Найти точку пересечения прямой:

(1)

и плоскости:

(2)

Решение.

Приравняем выражение (1) к параметру t и выразим через него x, y и z

(3)

(4)

Подставим x, y и z из (4) в уравнение плоскости.

(5)

Координаты точки пересечения прямой и плоскости получим, подставив значение t₀, найденное из (5) в уравнения (4).

(6)

Угол между прямыми в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.

Угол между прямыми очевидным образом связан с соответствующими соотношениями между направляющими векторами q этих прямых.

. (1)

Угол между плоскостью

(1)

И прямой

(2)

Определяется как дополнительный к углу между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой . Если угол между векторами обозначить , а угол меду прямой и плоскостью , то . Следовательно:

. (3)

Условие принадлежности 2-х прямых одной плоскости. Условие принадлежности прямой заданной плоскости.

Для того, чтобы две прямые (1) и (2) принадлежали

(1)

(2)

одной плоскости необходимо и достаточно, чтобы три вектора

и

были компланарны. Где M₁ и M₂ – точки принадлежащие плоскости.

Приравняв нулю смешанное произведение этих векторов, получим условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.

 

(3)

 

Плоскость

(1)

Прямая

(2)

Для того, чтобы прямая (2) принадлежала плоскости (1) должны быть выполнены два условия:

3. условие параллельности прямой и плоскости

(3)

4. координаты точки M₁(x₁,y₁,z₁), принадлежащей прямой, должны обращать уравнение плоскости в тождество

(4)

29) Задача о плоскости П проходящей через прямую L₁ параллельно прямой L₂

Составить уравнение плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых параллельно второй.

(1)

(2)

Решение.

Ориентацию в пространстве искомой плоскости определяют направляющие вектора прямых

и

Введем в рассмотрение «свободный вектор»

,

конечная точка которого M(x,y,z) −.произвольная точка пространства, а начальная точка M₁(x₁,y₁,z₁) взята с первой прямой.

Из условия компланарности рассматриваемых векторов запишем уравнение искомой плоскости в матричной форме.

. (3)

 

30) Задача о прямой L₂ проходящей через точку M₀? Перпендикулярно прямой L₁ (L₁ и L₂ пересекаются)

Дана прямая . (1)

Составить уравнение прямой, походящей через данную точку перпендикулярно заданной прямой.

Решение.

Нормальный вектор прямой будет направляющим вектором для искомой прямой.

Чтобы «свободная точка» - M (x,y) принадлежала искомой прямой, вектор должен быть параллелен вектору n₁. Условие параллельности векторов:

(2)

есть искомое уравнение в каноническом виде. Умножив (2) на произведение и введя обозначение запишем искомое уравнение в общем виде

. (3)

Условия A₁=0 или B₁=0 означают, что соответствующие числители обращаются в нуль.

Заметим, что в случае перпендикулярности прямых коэффициенты при переменных x и y меняются местами, а у одного из них меняется знак.

31) Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Теорема Крамера (доказательство для системы двух уравнений) Случаи =0, . Геометрическая интерпритация.