Каноническое уравнение прямой на плоскости. Параметрическое уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой. Координаты направляющего вектора l, m, n: a = {l;m;n}.

Если известна одна точка M₀ (x₀;y₀;z₀) прямой и направляющий вектор a = {l;m;n}, то прямая может быть определена (двумя) уравнениями вида:

(1) В таком виде уравнения прямой называются каноническими.

Канонические уравнения прямой, проходящей через данные точки M₁ (x₁;y₁;z₁) и M₂ (x₂;y₂;z₂), имеют вид

 

(2) Обозначим буквой t каждое из равных отношений в канонических уравнениях (1); получим:

 

= t. Отсюда x = x₀ + lt, y = y₀ + mt, z = z₀ + nt (3)

Это параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M₀ (x₀;y₀;z₀) в направлении вектора a = {l;m;n}. В уравнениях (3) t рассматривается как произвольно имеющийся параметр, x,y,z – как функции от t; при изменении t величины x,y,z меняются так, что M (x;y;z) движется по данной прямой.

Если параметр t рассматривать как переменное время, а уравнения (3) как уравнения движения точки M, то эти уравнения будут определять прямолинейное и равномерное движение точки M. При t = 0 M совпадает с точкой M₀. Скорость v точки M и определяется формулой:

 

V= Уравнение является уравнением прямой, проходящей через две точки M₁(x₁;y₁) и M₂ (x₂;y₂). Угол , называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой к:

к = tg =

Уравнение y = kx + b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k – угловой коэффициент, b – величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу. Считая от начала координат. Если прямая задана общим уравнением Ах+Ву+С=0, то ее угловой коэффициент определяется по формуле:

K = - .

Умножив выражение на число и подставив в него , получим:

(5.12)

Если принять обозначение , уравнение примет следующий вид:

. (5.13)

Здесь координата точки пересечения прямой с осью , в чем легко убедиться, подставив в (5.13) уравнение оси − .

 

Угол (Cos фи) между прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, заданных общим и каноническим уравнениями.

Угол между прямыми, а также условия перпендикулярности и параллельности прямых очевидным образом связаны с соответствующими соотношениями между их направляющими векторами .

. (7.12)

Условие перпендикулярности двух прямых:

. (7.13)

Условия параллельности прямых:

(7.14)

(Нуль в знаменателе в этой пропорции означает, что соответствующий числитель тоже обращается в нуль.)

Угол между плоскостью

(7.15)

И прямой

(7.16)

Определяется как дополнительный к углу между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой .

Если угол между векторами обозначить , а угол меду прямой и плоскостью , то . Следовательно:

. (7.17)

 

Условие перпендикулярности векторов и

(7.18)

соответствует параллельности прямой и плоскости, а условие парллельности векторов и

(7.19)

означает перпендикулярность прямой и плоскости.

 

Для того, чтобы прямая (7.16) принадлежала плоскости (7.15) должны быть выполнены два условия:

1. условие параллельности прямой и плоскости

(7.20)

2. координаты точки , принадлежащей прямой, должны обращать уравнение плоскости в тождество

(7.21)

Для того, чтобы две прямые (7.22) и (7.23) принадлежали

(7.22)

(7.23)

одной плоскости необходимо и достаточно, чтобы три вектора

и

были компланарны.

 

Приравняв нулю смешанное произведение этих векторов, получим условие принадлежности двух прямых к одной плоскости. (7.24)

______________________________________________________________

Условие параллельности двух прямых на плоскости:

Прямые A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0 являются параллельными тогда и только тогда, когда

 

Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости:

Прямые A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0 являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда A1A2 + B1B2 = 0

 

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

 

 

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

Ax + By + C = 0