Числовая ось. Прямоугольные декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Направленный отрезок и его проекции на оси координат.

Свойства проекций вектора

 Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью:

 Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций векторов на ту же ось: .

 Если вектор умножается на число λ, то его проекция на ось также умножается на это число:

.

 

 

Каноническое уравнение прямой на плоскости. Параметрическое уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой. Координаты направляющего вектора l, m, n: a = {l;m;n}.

Если известна одна точка M₀ (x₀;y₀;z₀) прямой и направляющий вектор a = {l;m;n}, то прямая может быть определена (двумя) уравнениями вида:

(1) В таком виде уравнения прямой называются каноническими.

Канонические уравнения прямой, проходящей через данные точки M₁ (x₁;y₁;z₁) и M₂ (x₂;y₂;z₂), имеют вид

 

(2) Обозначим буквой t каждое из равных отношений в канонических уравнениях (1); получим:

 

= t. Отсюда x = x₀ + lt, y = y₀ + mt, z = z₀ + nt (3)

Это параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M₀ (x₀;y₀;z₀) в направлении вектора a = {l;m;n}. В уравнениях (3) t рассматривается как произвольно имеющийся параметр, x,y,z – как функции от t; при изменении t величины x,y,z меняются так, что M (x;y;z) движется по данной прямой.

Если параметр t рассматривать как переменное время, а уравнения (3) как уравнения движения точки M, то эти уравнения будут определять прямолинейное и равномерное движение точки M. При t = 0 M совпадает с точкой M₀. Скорость v точки M и определяется формулой:

 

V= Уравнение является уравнением прямой, проходящей через две точки M₁(x₁;y₁) и M₂ (x₂;y₂). Угол , называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой к:

к = tg =

Уравнение y = kx + b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k – угловой коэффициент, b – величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу. Считая от начала координат. Если прямая задана общим уравнением Ах+Ву+С=0, то ее угловой коэффициент определяется по формуле:

K = - .

Умножив выражение на число и подставив в него , получим:

(5.12)

Если принять обозначение , уравнение примет следующий вид:

. (5.13)

Здесь координата точки пересечения прямой с осью , в чем легко убедиться, подставив в (5.13) уравнение оси − .

 

Угол между плоскостью

(7.15)

И прямой

(7.16)

Определяется как дополнительный к углу между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой .

Если угол между векторами обозначить , а угол меду прямой и плоскостью , то . Следовательно:

. (7.17)

 

Условие перпендикулярности векторов и

(7.18)

соответствует параллельности прямой и плоскости, а условие парллельности векторов и

(7.19)

означает перпендикулярность прямой и плоскости.

 

Для того, чтобы прямая (7.16) принадлежала плоскости (7.15) должны быть выполнены два условия:

1. условие параллельности прямой и плоскости

(7.20)

2. координаты точки , принадлежащей прямой, должны обращать уравнение плоскости в тождество

(7.21)

Для того, чтобы две прямые (7.22) и (7.23) принадлежали

(7.22)

(7.23)

одной плоскости необходимо и достаточно, чтобы три вектора

и

были компланарны.

 

Приравняв нулю смешанное произведение этих векторов, получим условие принадлежности двух прямых к одной плоскости. (7.24)

______________________________________________________________

Условие параллельности двух прямых на плоскости:

Прямые A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0 являются параллельными тогда и только тогда, когда

 

Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости:

Прямые A1x + B1y + C1 = 0 и A2x + B2y + C2 = 0 являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда A1A2 + B1B2 = 0

 

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

 

 

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

Ax + By + C = 0

 

Типовые задачи.

Задача 6.2.

Дана плоскость и точка .

Составить уравнение плоскости, походящей через данную точку параллельно заданной плоскости.

Решение.

Нормальный вектор заданной плоскости , он же будет нормальным вектором искомой плоскости.

Чтобы «свободная точка» принадлежала искомой плоскости, вектор должен быть перпендикулярен вектору . Условие перпендикулярности векторов

(6.24)

есть искомое уравнение. Раскрыв скобки и введя обозначение запишем найденное уравнение в общем виде

(6.25)

Задача 6.3.

Задано уравнение пучка плоскостей

, (6.26)

и плоскость

. (6.26*)

Составить уравнение плоскости, принадлежащей пучку, параллельной плоскости .

Решение. Преобразуем уравнение (6.26)

.

Это уравнение искомой плоскости. Его нормальный вектор, имеющий вид

,

параллелен вектору .

Условие параллельности векторов

(6.27)

содержит единственную неизвестную величину . Определив число и подставив его в уравнение (6.26), получим уравнение искомой плоскости.

 

Угол между плоскостью

(1)

И прямой

(2)

Определяется как дополнительный к углу между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой . Если угол между векторами обозначить , а угол меду прямой и плоскостью , то . Следовательно:

. (3)

Плоскость

(1)

Прямая

(2)

Для того, чтобы прямая (2) принадлежала плоскости (1) должны быть выполнены два условия:

3. условие параллельности прямой и плоскости

(3)

4. координаты точки M₁(x₁,y₁,z₁), принадлежащей прямой, должны обращать уравнение плоскости в тождество

(4)

29) Задача о плоскости П проходящей через прямую L₁ параллельно прямой L₂

Составить уравнение плоскости, проходящей через одну из скрещивающихся прямых параллельно второй.

(1)

(2)

Решение.

Ориентацию в пространстве искомой плоскости определяют направляющие вектора прямых

и

Введем в рассмотрение «свободный вектор»

,

конечная точка которого M(x,y,z) −.произвольная точка пространства, а начальная точка M₁(x₁,y₁,z₁) взята с первой прямой.

Из условия компланарности рассматриваемых векторов запишем уравнение искомой плоскости в матричной форме.

. (3)

 

30) Задача о прямой L₂ проходящей через точку M₀? Перпендикулярно прямой L₁ (L₁ и L₂ пересекаются)

Дана прямая . (1)

Составить уравнение прямой, походящей через данную точку перпендикулярно заданной прямой.

Решение.

Нормальный вектор прямой будет направляющим вектором для искомой прямой.

Чтобы «свободная точка» - M (x,y) принадлежала искомой прямой, вектор должен быть параллелен вектору n₁. Условие параллельности векторов:

(2)

есть искомое уравнение в каноническом виде. Умножив (2) на произведение и введя обозначение запишем искомое уравнение в общем виде

. (3)

Условия A₁=0 или B₁=0 означают, что соответствующие числители обращаются в нуль.

Заметим, что в случае перпендикулярности прямых коэффициенты при переменных x и y меняются местами, а у одного из них меняется знак.

31) Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Теорема Крамера (доказательство для системы двух уравнений) Случаи =0, . Геометрическая интерпритация.

Числовая ось. Прямоугольные Декартовы координаты на плоскости и в пространстве. Координаты точки. Направленный отрезок и его проекции на оси координат.

Числовая ось, или числовая прямая — это бесконечная прямая, на которой выбраны:

некоторая точка O — начало отсчета;

положительное направление, указанное стрелкой;

масштаб для измерения длин.

Декартовы координаты на плоскости образуют две взаимно перпендикулярные оси с общим началом отсчета и общей масштабной единицей. Ось называется осью абсцисс ось - осью ординат. Проекции точки на оси и обозначим и .

 

 

Рис.1

Декартовыми прямоугольными координатами и точки будем называть величины направленных отрезков и

Оси координат разбивают плоскость на четыре квадранта. В первом квадранте и , во втором , и так далее при обходе начала координат в направлении против часовой стрелки.

 

Декартовы координаты в пространстве вводятся аналогично декартовым координатам на плоскости. Три взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом и одинаковой масштабной единицей образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве. Оси абсцисс и ординат здесь те же самые и . Третья ось называется осью аппликат.

Система координат называется правой, если из конца оси кратчайший поворот от оси к оси виден происходящим в направлении против часовой стрелки.

Декартовыми прямоугольными координатами точки будем называть величины направленных отрезков , и .

Через каждую пару осей можно провести координатные плоскости , которые разбивают пространство на восемь октантов. Нумерация октантов проводится в направлении против часовой стрелки. Первые четыре октанта расположены над плоскостью , остальные под ней.

Рис.2

 

 

Координаты точки. Пусть дана произвольная прямая A. Выберем некоторый отрезок в качестве единицы измерения длин, назначим на прямой А положительное направление(после чего она становится осью) и отметим на этой прямой буквой О какую-нибудь точку. Тем самым на прямой А будет введена система координат.

Координатой любой точки М прямой А (в установленной системе координат) называется число х, равное величине отрезка ОМ: х=ОМ. Точка О – начало координат.

Рис.3

 

 

Отрезок на оси называется направленным, если указано, какая из его граничных точек является началом, а какая концом.

Проекцией отрезка АВ на ось и называется число, равное величине отрезка А₁В₁ оси и _, где точка А₁ является проекцией точки А на ось и, а В₁ – проекцией точки В на эту же ось. Проекция отрезка АВ на ось и обозначается символом ПР и АВ.

 

 

2. Матрица и определитель третьего порядка. Свойства определителей. Вычисление детерминанта.

Прямоугольная таблица из чисел, содержащая строк и столбцов называется матрицей.

Определителем третьего порядка называется число, равное алгебраической сумме произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы

 

Свойство 1. Величина определителя не изменится, если строки и столбцы определителя поменять местами, т.е.

Свойство 2. Перестановка двух строк (или двух столбцов) определителя равносильна умножению его на число .

Свойство 3. Если определитель имеет две одинаковые сроки (или два одинаковых столбца), то он равен нулю.

Свойство 4. Умножение всех элементов некоторой строки (или некоторого столбца) определителя на число равносильно умножению определителя на это число.

Свойство 5. Ели все элементы некоторой строки (или столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Свойство 6. Если элементы двух строк (или двух столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Свойство 7. Если каждый элемент к-го столбца определителя является суммой двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, первый из которых в к-ом столбце содержит первые слагаемые упомянутых сумм, а в к-ом столбце второго стоят вторые слагаемые, остальные же столбцы определителей совпадают со столбцами исходного определителя. Аналогичное утверждение справедливо для строк определителя. Например,

Вычисление определителя третьего порядка:

1. Способ

2. Способ

 

 

3. Определитель третьего порядка. Алгебраические дополнения и миноры. Разложение определителя по элементам строки или столбца.

Выражения в скобках будем называть алгебраическими дополнениями элементов первой строки определителя и обозначать большими буквами с теми же индексами. Выражение называется разложением определителя по элементам первой стоки.

Минором данного элемента определителя -го порядка называется определитель -го порядка, полученный из данного определителя вычеркиванием сроки и столбца, на пересечении которых стоит элемент и обозначается как

 

4. Вектор. Разложение вектора по базису i,j,k. Длина вектора, сложение, вычитание, умножение на число.

Отрезок на оси называется направленным, если указано, какая из его граничных точек является началом, а какая концом.

Определение. Т ри линейно независимыхвектора и образуют базис трехмерного пространства, если любой вектор может быть представлен линейной комбинацией этих векторов. Любая тройка некомпланарных векторов образует базис трехмерного пространства. Вектор может быть разложен по базису , то есть:

Определение. Суммой двух векторов называется вектор , идущий из начала вектора в конец вектора , при условии, что начало вектора совмещено с концом вектора .

Для операции сложения векторов справедливы четыре аксиомы:

1) (переместительное свойство);

2) (сочетательное свойство);

3) Существует нулевой вектор , такой, что ;

4) Для каждого вектора существует противоположный ему вектор такой, что .

Определение. Разностью двух векторов называется вектор , который в сумме с вектором дает вектор . Можно показать, что , где - вектор, противоположный вектору . В самом деле, .

Определение. Произведением вектора на число называется вектор имеющий длину, равную , и направление, совпадающее с направлением вектора в случае и противоположное в случае .

 

5. Направляющие cos, орт вектора. Линейные свойства проекций вектора.

Вектор единичной длины называется ортом и обозначается символом . - это орт вектора .

Очевидно что, , откуда следует, что (3.1)

Разложение орта по базису имеет вид

(3.25)

В соответствии теоремой Пифагора для трехмерного случая

, (3.26)

а также

(3.27)

Принято называть и направляющими косинусами вектора , и - углы между вектором и осями и .

(3.28)

Свойства проекций вектора

 Проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью:

 Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций векторов на ту же ось: .

 Если вектор умножается на число λ, то его проекция на ось также умножается на это число:

.