Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Система трех линейных уравнений ⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7
Рассмотрим систему уравнений следующего вида: (1) Здесь x, y и z неизвестные, aij, hi заданные числа. Упорядоченная тройка чисел x0, y0 и z0 называется решением системы (1) если подстановка этих чисел в систему обращает все три уравнения в тождества. Теорема Крамера остается справедливой и для систем третьего и более высоких порядков. (Доказательство см. ниже). Формулы Крамера для системы (1) приобретают вид, , (2) Где, Если определитель системы уравнений (1) то существует единственное решение системы, определяемое формулами Крамера (2). Проверка существования решения системы (1) осуществляется подстановкой полученных решений в уравнения системы. Геометрический смысл: каждое из уравнений системы (1) является уравнением плоскости в пространстве, а три числа x0, y0 и z0, являющиеся решением системы, суть координаты точки пересечения этих плоскостей. Теорема и Доказательство: Система уравнений имеет вид, (1) Здесь x и y - неизвестные, а коэффициенты aij и свободные члены h1 и h2 - заданные числа. Теорема Крамера: Если определитель системы (1) отличен от нуля, то существует и притом единственное, решение этой системы, определяемое формулами Крамера (6) Если определитель системы (1) =0, то система либо вовсе не имеет решений (если хотя бы один из определителей x или y отличен от нуля), либо имеет бесконечно много решений (в случае = x= y=0). Решением системы является пара чисел (x0,y0), подстановка которых в уравнения системы (1) обращает эти уравнения в тождества. Умножив первое уравнение на a22, а второе на – a12 и сложив полученные выражения, получим (2) Аналогично, умножая уравнения системы на – a21 и a11 и складывая полученные выражения, будем иметь, (3) Введем следующие обозначения: (4) В новых обозначениях выражения (2) и (3) будут иметь вид: (5) Определитель принято называть определителем системы. Из соотношений (5) просто получаются формулы Крамера (6) Могут представиться два случая: 1) определитель системы отличен от нуля. 2) определитель равен нулю.
В случае решение системы существует и единственно, так как система уравнений (5) является следствием системы (1). Формулы (6) позволяют легко найти значения x0 и y0. Рассмотрим случай . Здесь имеют место два подслучая: а) хотя бы один из определителей x или y отличен от нуля,
б) оба определителя x и y равны нулю.
В подслучае а) хотя бы одно из равенств (6) не имеет смысла, и система (5), а вместе с ней и система (1) не имеет решений. В подслучае б) система (1) имеет бесконечно много решений. В самом деле, из равенства = x= y=0 заключаем, что Это означает, что второе уравнение системы (1) является следствием первого и может быть отброшено. Но линейное уравнение вида a11x+a12y=h1 имеет бесконечно много решений, так как задав значение x, из уравнения можно найти соответствующее значение y, и таких пар чисел существует бесконечно много. Геометрический смысл: уравнения системы (1) являются уравнениями прямых на плоскости. Числа x0 и y0, определяемые по формулам Крамера (6) при являются координатами точки пересечения этих прямых.
32. Система 3-х однородных уравнений с 3-мя неизвестными. Случаи и . Геометрическая интерпретация. (1.31) Очевидно, что эта система всегда имеет тривиальное решение (проверяется подстановкой в уравнения). Когда определитель системы тривиальное решение является единственным Докажем, что при система имеет бесконечно много решений. Если все миноры второго порядка в определителе (1.32) Равны нулю, то соответствующие коэффициенты в уравнениях системы (1.31) пропорциональны. Следовательно, второе и третье уравнения системы являются следствиями первого и могут быть отброшены, а оставшееся единственное уравнение имеет бесконечно много решений (как отмечалось в предыдущем пункте). Осталось рассмотреть случай, когда хотя бы один минор второго порядка в определителе (1.32) отличен от нуля. Не ограничивая общности, будем считать, что . Тогда, как установлено в предыдущем пункте, система первых двух уравнений будет иметь бесконечное множество решений, определяемых формулами (1.30). Подставим эти решения в третье уравнение и убедимся, что оно обращается в тождество, = , так как определитель системы равен нулю по условию. Тем самым доказано, что однородная система уравнений (1.31) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю.
35)Парабола – определение. Вывод канонического уравнения. Директрисы параболы. Полярное уравнение, графическое изображение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние от некоторой точки , именуемой фокусом, равно расстоянию до некоторой прямой, именуемой директрисой. Уравнение директрисы Для вывода уравнения параболы точку поместим на оси на расстоянии, равном вправо от начала координат, а директрису проведем параллельно оси на таком же расстоянии влево от начала координат (Рис.9.3.) В соответствии с определением параболы (9.9) Подставив и в равенство и возведя во вторую степень левую и правую части равенства, получим: . (9.10) После упрощений в выражении (9.10), получим каноническое уравнение параболы: . (9.11) Полярное уравнение
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-26; просмотров: 397; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.117.148.105 (0.013 с.) |