Пучок и связка плоскостей. Уравнение пучка плоскостей. Основные задачи, решаемые с применением уравнения пучка.

Множество плоскостей, пересекающихся по одной прямой , называется пучком плоскостей

Теорема 5.3. Уравнение

(6.18)

есть уравнение пучка плоскостей, если и не обращаются в нуль одновременно, а уравнения

и (6.19)

суть уравнения двух плоскостей, пересекающихся по прямой . Любая плоскость, проходящая через прямую , определяется уравнением (6.19) при некоторых значениях чисел и .

Доказательство. Преобразуем уравнение к следующему виду:

(6.20)

Это уравнение плоскости, если выражения в скобках не равны нулю одновременно. Предположим противное. Тогда, из

следует ,

Из следует ,

Из следует .

В итоге . (6.21)

Это условие параллельности плоскостей (6.19), что противоречит условиям теоремы. Тем самым доказано, что уравнение (6.18) всегда определяет некоторую плоскость.

Покажем, что любая плоскость, принадлежащая пучку определяется уравнением (6.18) при некоторых значениях чисел и . Фиксируем точку , не принадлежащую прямой . Точка и прямая определяют плоскость, принадлежащую пучку, единственным образом.

Подставив координаты точки в уравнение (6.18), получим уравнение относительно неизвестных и .

В этом уравнении выражения в круглых скобках не могут обратиться в нуль одновременно, так как точка не может принадлежать двум различным плоскостям (6.19).

Пусть

,

Тогда

(6.22)

Из (6.22) значения и определяются с точностью до произвольного общего множителя.

Можно представить уравнение пучка плоскостей в другом виде, разделив (6.18) на и положив :

(6.23)

 

Связка плоскостей есть множество плоскостей, имеющих одну общую точку . Уравнение связки плоскостей имеет вид

. (6.28)

В этом уравнении фиксированы координаты точки , а коэффициенты произвольные числа, не обращающиеся в нуль одновременно.

Типовые задачи.

Задача 6.2.

Дана плоскость и точка .

Составить уравнение плоскости, походящей через данную точку параллельно заданной плоскости.

Решение.

Нормальный вектор заданной плоскости , он же будет нормальным вектором искомой плоскости.

Чтобы «свободная точка» принадлежала искомой плоскости, вектор должен быть перпендикулярен вектору . Условие перпендикулярности векторов

(6.24)

есть искомое уравнение. Раскрыв скобки и введя обозначение запишем найденное уравнение в общем виде

(6.25)

Задача 6.3.

Задано уравнение пучка плоскостей

, (6.26)

и плоскость

. (6.26*)

Составить уравнение плоскости, принадлежащей пучку, параллельной плоскости .

Решение. Преобразуем уравнение (6.26)

.

Это уравнение искомой плоскости. Его нормальный вектор, имеющий вид

,

параллелен вектору .

Условие параллельности векторов

(6.27)

содержит единственную неизвестную величину . Определив число и подставив его в уравнение (6.26), получим уравнение искомой плоскости.