Лекция 6. Ведение в кинематику

Кинематикой называют раздел механики, в котором рассматривают движение тел и

Точек без учета сил, приложенных к ним.

6.1. Способы задания движения точки

Рассматривать движение тел или точек можно только относительно какой- либо системы отсчета – реального или условного тела, относительно которого определяют положение и движение других тел.

Рассмотрим три, наиболее используемые при решении задач, системы отсчета и, соответствующие им, три способа задания движения точки. Их характеристика сводится к: а) описанию самой системы отсчета; б) определению положения точки в пространстве; в) указанию уравнений движения точки; г) установлению формул, по которым могут быть найдены кинематические характеристики движения точки.

Векторный способ

Данный способ используют, как правило, при выводе теорем и других теоретических положений. Его преимущество перед другими способами – компактность записи. В качестве системы отсчета в этом способе выступает центр О с тройкой единичных векторов – i, j, k (рис. 8.1). Положение в пространстве произвольной точки М определяется посредством радиуса-вектора, r. Таким образом, уравнением движения точки M будет однозначная функция радиуса-вектора от времени, t:

 

Перемещением точки за данный промежуток времени,
	называется вектор, соединяющий начальное и ко-
нечное положение точки на ее траектории . Траекторией точки называют определенную последова-тельность ее положений относительно системы отсчета. Годографом радиуса-вектора называют линию, описы-ваемую его концом.

Сравнивая последние два определения, можно заключить, что траектория точки является одновременно годографом ее радиуса-вектора.

Введем понятие средней скорости, V_ср (рис. 8.1):

 

и истинной (мгновенной) скорости, V:

Направление V совпадает с касательной, к траектории точки (рис. 8.1).

Ускорение точки – это векторная величина, характеризующая изменение скорости точки:

Естественный способ

Данный способ используется в тех случаях, когда задана траектория точки. Для определения положения точки на траектории выбирается начало отсчета – точка О, относительно которой откладывается дуговая координата, S (рис. 8.2), и направление положительного отсчета S по траектории. Дуговая координата является условной скалярной величиной и может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Однознач-

ная зависимость между S и временем, t, представляет собой уравнение движения точки в естественном способе задания движения:

Скорость точки, направленная по оси t, определяется как:

Ускорение точки, а, находится в плоскости nt и может быть разложено на составляющие:

Физический смысл этого разложения заключается в следующем: линия действия касательной составляющей, а_t, совпадает с линией действия вектора скорости, V, и отражает изменение только модуля скорости; нормальная составляющая ускорения, а_n, характеризует изменение направления линии действия вектора скорости. Их численные значения могут быть найдены по следующим формулам:

где

– радиус кривизны траектории в данной точке.

 

Координатный способ

Этот способ наиболее часто используют при решении задач. Системой отсчета является тройка взаимно перпендикулярных осей x, y, z (рис. 8.3). Положение точки М определяется ее координатами x_М, y_М, z_М.

Уравнения движения точки представляют собой однозначные функции этих координат от

времени: Составляющие скорости точки по осям равны:

 

а ее модуль:

 

 

Направление вектора скорости в пространстве можно аналитически определить с помощью направляющих косинусов:

 

 

где

- углы, которые образует вектор V с осями x, y, z соответственно.

 

Ускорение точки М можно установить по его проекциям на координатные оси:

 

 

его модуль равен:

 

Направление вектора ускорения в пространстве определяется направляющими косинусами:

где

- углы, которые образует вектор ускорения с осями x, y, z соответственно.

 

 

ЛЕКЦИЯ 7. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА