Уравнения движения и равновесия

Основным динамическим уравнением движения материальной точки является 2-й закон Ньютона , а широко используемым следствием этого закона являются следующие общие теоремы движения системы материальных точек:

· производная по времени от количества движения

равна сумме всех действующих на систему внешних сил

(6.7.1)

и называется уравнением количества движения, или уравнением импульсов:

· производная по времени от кинетического момента

системы относительно какого-либо неподвижного центра О равна сумме моментов

всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра, т.е.

, (6.7.2)

называется уравнением моментов количества движения;

· Дифференциал кинетической энергии:

системы равен сумме элементарных работ

всех действующих на систему внешних и внутренних сил, т.е.

(6.7.3)

называется уравнением механической энергии (теоремой живых cил).

· Для любого мысленно выделяемого индивидуального объёма сплошной среды , ограниченного поверхностью , уравнения (1.68) - (1.70) действительны, если динамические величины определить следующим образом:

.

(соответственно количество движения, момент количества движения и кинетическая энергия сплошной среды в объёме );

,

(соответственно сумма внешних объёмных и поверхностных сил и их моментов относительно некоторого неподвижного центра О, действующих на среду в объёме ). Силы и их моменты непрерывно определены и сосредоточены.

Сумма элементарных работ внешних и внутренних объёмных и поверхностных сил

.

В этом случае уравнения (6.7.1) и (6.7.2) являются основными постулируемыми динамическими соотношениями механики сплошной среды. Они служат исходными уравнениями для описания любых движений сплошной среды, в том числе разрывных движений и ударных процессов.

Уравнение (6.7.3) одно из наиболее важных следствий уравнений (6.7.1) и (6.7.2) при непрерывных движениях в пространстве и времени.

При непрерывных движениях интегральная теорема движения (6.7.1) эквивалентна следующим 3 дифференциальным уравнениям:

· в декартовой системе координат:

· в цилиндрической системе координат при осевой симметрии

(6.7.4)

где проекции ускорения вычисляют по формулам (1.6).

Эти уравнения, связывающие компоненты вектора скорости и тензора напряжений , являются основной системой дифференциальных уравнений движения для любой сплошной среды, представляющих собой уравнение баланса количества движения (импульса) для бесконечно малого объёма среды. Если движения частиц происходят без ускорения () или они пренебрежимо малы, то уравнения (6.7.4) называются дифференциальными уравнениями равновесия (т.е. установившийся поток).

При непрерывном движении сплошной среды, теорема моментов количества движения (6.7.2) в дифференциальной форме сводится к выводу о том, что тензор напряжений симметричен, т.е. . Если тензор напряжений симметричен, то уравнения моментов количества движения удовлетворяются тождественно.

Интегральная теорема живых сил (6.7.3) эквивалентна следующему дифференциальному уравнению:

, (6.7.5)

где

 

соответственно изменение кинетической и потенциальной энергии бесконечно малого объёма сплошной среды, элементарная работа внешних объёмных и поверхностных сил, действующих на бесконечно малый элемент объёма среды.

Уравнение (6.7.5) является следствием уравнения движения(6.7.4) и представляет собой уравнение баланса механической энергии.

В общем случае оно не является законом сохранения энергии, но его можно так трактовать тогда, когда механическая энергия тела не переходит в тепловую или другие виды энергии. Общий закон сохранения энергии в этом случае распадается на два:

· закон изменения механической энергии;

· закон изменения энергии другого вида.