ТОП 10:

ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ



Изменение кинетической энергии жидкого объёма за единицу времени равно мощности всех внешних и внутренних (поверхностных и массовых) сил, действующих на этот объём жидкости. Кинетическая энергия бесконечно малого объёма жидкости равна , тогда кинетическая энергия конечного объёма будет равна:

. (6.5.1)

Мощность силы равна скалярному произведению вектора силы и скорости тела, на которое она действует. Например, на элементарный объём действует внешняя массовая сила с плотностью распределения , величина этой силы равна . Работа этой силы на перемещении равна

.

Мощность силы найдём как отношение совершаемой ею работы ко времени , за которое произойдёт перемещение объёма на расстояние . При этом скорость жидкого объёма равна . Следовательно, мощность внешней объёмной силы для элементарного объёма равна . Мощность этой силы при перемещении всего объёма :

. (6.5.2)

Рассуждая аналогично, найдём мощность внешних поверхностных сил, действующих на поверхность , ограничивающую объём :

, (6.5.3)

где - скорость жидкости на поверхности в точке, где выделен элемент .

Рассчитать работу внешних сил, как правило, не представляется возможным, так как она зависит от поля скорости внутри контрольного объёма, которое вообще говоря неизвестно. Поэтому введём функцию - плотность распределения мощности внутренних сил, т.е. работы, которая за единицу времени переходит в тепло и рассеивается (диссипирует) внутри объёма жидкости, имеющего единичную массу. Работа внутренних сил может только уменьшать кинетическую энергию, так как, переходя в энергию беспорядочного теплового движения молекул, соответствующая часть кинетической энергии объёма уже не участвует в дальнейшем балансе механической энергии. Обычно мощность внутренних сил называют диссипированной, а функцию e диссипативной. Уменьшение кинетической энергии объёма за счёт работы внутренних сил представим в виде:

. (6.5.4)

Знак минус вводится, чтобы функция e(х,у,z,t) была всегда положительной.

Приравнивая субстанциональную производную от кинетической энергии (6.5.1) сумме мощностей (6.5.2),(6.5.3) и (6.5.4), получаем уравнение, выражающее закон изменения кинетической энергии:

. (6.5.5)

Если уравнение (6.5.5) используют для решения одномерных задач, то его представляют в виде различных модификаций уравнения Бернулли. Закон изменения кинетической энергии в виде дифференциального уравнения не используется, так как оно эквивалентно дифференциальному уравнению, выражающему закон изменения количества движения.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

В дополнение к закону изменения кинетической энергии, выражающему баланс механической энергии, рассмотрим более общий случай, принимая во внимание изменение механической энергии за счёт её источников (стоков), содержащихся внутри контрольного объёма, и баланс внутренней энергии (тепла).

Рис.6.3. Контрольный объём для формулировки закона сохранения энергии

Пусть в контрольном объёме , который выделен на рис. 6.3. контрольной поверхностью , указанной штриховой линией установлена турбина, которую вращает набегающий поток, отдавая ей мощность Ni (поток совершает работу Ni в единицу времени). Индекс i означает, что устройств, изменяющих механическую энергию потока, может быть несколько. Если вместо турбины установить насос, то соответствующая мощность насоса увеличит механическую энергию потока, так что знак Ni зависит от функции устройства внутри контрольного объёма. Запишем при этом уравнение, выражающее баланс механической энергии:

. (6.6.1)

Рассмотрим баланс тепла в контрольном объёме. Пусть - количество внутренней энергии жидкости (теплоты) внутри контрольного объёма, а - плотность её распределения в пространстве, т.е. удельная внутренняя энергия жидкости (на единицу массы). Тогда

. (6.6.2)

Чем могут быть вызваны изменения внутренней энергии жидкости внутри контрольного объёма? Возможны следующие причины:

наличие внутри объёма источников тепла, подводимого извне, с плотностью распределения t(r,t) (на единицу объёма в единицу времени);

присутствие на граничных поверхностях источников тепла с плотностью распределения s(r,t) (на единицу площади в единицу времени);

работа внутренних сил в жидкости, например, за счёт вязкости; плотность распределения мощности внутренних сил e(r,t).

Баланс тепла для жидкости, содержащейся в контрольном объёме в момент времени t, имеет вид

. (6.6.3)

Складывая (6.6.1) и (6.6.3), получаем уравнение, выражающее общий закон сохранения энергии для контрольного объёма сплошной среды (6.6.4):

.

Как следует из полученного соотношения, работа внутренних сил не изменяет полную энергию системы жидких частиц: она уменьшает механическую энергию и увеличивает тепловую.

Для перехода к Эйлерову неподвижному объему используется теорема о дифференцировании по времени функции, как интеграла по подвижному объему:

здесь А – скалярная или векторная функция.

 







Последнее изменение этой страницы: 2017-01-26; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.226.243.36 (0.007 с.)