Циркуляция скорости. Вихрь вектора скорости

Если в поле мысленно проведён какой-либо замкнутый контур L, ограничивающий некоторую поверхность S, то линейный интеграл

 

 

называется циркуляцией скорости, а вектор, определяемый в виде

 

,

 

называется вихрем или ротором скорости.

В данном случае - единичные векторы, направленные соответственно по касательной к L и по нормали к поверхности S.

В декартовой системе координат вихрь скорости вычисляется по формуле

 

.

 

На основании теоремы Стокса имеет место равенство

.

Проводя аналогию с механикой твердого недеформируемого можно отметить, что при движении элементарного объема жидкости можно выделить два вида движения, которые уже изучались в курсе теоретической механики - поступательное движение твердого тела со скоростью полюса и вращение его вокруг полюса. Для жидкости дополнительным видом движения является деформационное. Поэтому иногда подразделяют движение элементарного объема жидкости на квазитвёрдое (поступательное и вращательное) и деформационное.

Из шести составляющих тензора, описывающего вращение жидкого объема вокруг полюса, только три отличаются друг от друга абсолютной величиной. Каждая из них определяет значение мгновенной угловой скорости вращения вокруг оси, параллельной одной из координатных осей. Эти угловые скорости w_x,w_y,w_z можно рассматривать как проекции на соответствующие координатные оси вектора w, определяющего угловую скорость вращения элементарного объема жидкости при его перемещении в трехмерном пространстве. Например, как было показано выше,

 

.

 

Обратим внимание на то, что буква z не входит в качестве индекса или координаты в правую часть равенства, определяющего w_z. Аналогично записываются выражения для w_z и w_у. Вектор w в матричной форме имеет вид

 

. (3.5.1)

 

В векторном анализе вместо w рассматривают вектор 2w, который обозначают rot u и называют вихрем вектора u (или вихрем скорости):

. (3.5.2)

Рис. 3.10. Сдвиговое продольно-однородное течение (течение Куэтта)

Следует обратить внимание, что ранее рассматривалось лишь пере­мещение объема за бесконечно малые интервалы времени Dt. Если рас­сматривать конечные интервалы времени, то, например, после поворота с угловой скоростью w за время Dt элементарный объем жидкости займет другие точки в поле скорости, и за следующий отрезок времени его угло­вая скорость может измениться. В результате даже при наличии во всех точках скорости и rot u ¹ 0 (такие поля называются вихревыми) мо­жет оказаться, что при перемещении на конечные расстояния эле­ментарного объема жидкости поворот его вокруг полюса не будет вос­приниматься как вращение в обычном смысле. Например, при сдвиговом продольно-однородном течении (течении Куэтта), представленном на рис. 3.10 с полем скорости , имеем, что только , а все остальные составляющие тензора grad u равны нулю.

Отметим, что, хотя мгновенная угловая скорость этого объема отлична от нуля,

 

,

 

при перемещении объема abсd на большое расстояние его поворот вокруг точки а не воспринимается как вращение.

В том случае, когда все проекции скорости могут быть определены одной функцией j (х₁, х₂, х₃, t) в виде , то есть = grad j, то говорят, что поле скоростей потенциальное, а функция j - потенциал скорости.

Проекция скорости v_l на любое направление l определяется производной dj/d l.

Необходимым и достаточным условием существования потенциальных течений являются равенства ():

 

.

 

Следовательно, безвихревое течение жидкости потенциально.

 

ПОЛЯ В ГИДРОДИНАМИКЕ

При изучении движения жидкости рассматривают её как сплошную среду. Таким образом, рассматривают не движение конечного числа отдельных частиц, а поля различных физических величин: скорости, плотности, давления и т.д. Такие поля можно назвать материальными полями. Математически эти поля описывают системой функций от координат и времени. Такой подход типичен не только для механики сплошных сред, но и для ряда других областей физики.

В общем случае поле является пространственным (трёхмерным), иногда задачу упрощают, и рассматривают двумерные (плоские) или одномерные поля. В этом случае полагают, что физические величины зависят от одной или двух пространственных координат.

Если физические величины не зависят от времени, то поле называют стационарным, в противном случае - нестационарным.

При математическом описании полей предполагают, что существуют пределы значений физических величин в точке. Такой подход упрощает физическую реальность, так как не учитывает дискретность строения материи, но такая абстракция оправдана, нужно только разумно ограничивать область полученных результатов.

Так как в практических задачах размеры обтекаемых тел намного порядков больше молекулярных размеров, то в этих задачах жидкость можно рассматривать как сплошную среду.

Скалярным называют поле, которое в каждой точке пространства характеризуют одним числом. Скалярное поле описывают одной функцией, зависящей от трёх координат. (Например, поле плотности или температуры).

Основное свойство скалярной функции а(х₁,х₂,х₃) состоит в том, что её численное значение не меняется при преобразовании координат.

Если перейти от старой х₁,х₂,х₃ к новой х^¢₁,х^¢₂,х^¢₃ системе координат, то значения плотности или температуры в фиксированной точке пространства, естественно, не изменяются:

а (х^¢₁,х^¢₂,х^¢₃) = а (х₁,х₂,х₃).

Векторным называют поле, которое в каждой точке пространства характеризуется величиной и направлением.

Например, поле скоростей жидкости. Вектор в пространстве трёх измерений может быть задан тремя компонентами:

а₁(х₁,х₂,х₃), а₂(х₁,х₂,х₃), а₃(х₁,х₂,х₃),

то есть, тремя функциями от трёх переменных. Это можно записать в виде матрицы-столбца:

 

а ÜÞ

Введём новую декартову систему координат с тем же началом, но с другим направлением осей.

Пусть l _ij - направляющий косинус оси x^¢_j относительно оси x_i (i = 1,2,3; j = 1,2,3). Вычислим проекции того же вектора на новые оси координат:

 

a^¢₁ = l ₁₁ a₁ + l ₂₁ a₂ + l_{3 1} a₃;

a^¢₂ = l ₂₁ a₁ + l ₂₂ a₂ + l₂₃ a₃;

a^¢₃ = l ₃₁ a₁ + l ₃₂ a₂ + l₃₃ a₃.

Следовательно, вектор подчиняется определённому закону преобразования его компоненти отличается от скалярной величины, численное значение которой не меняется при преобразовании координат.

То есть,сам вектор не меняется в новых координатах, а меняются его компоненты.

Это выражение можно представить в индексной форме записи как сумму:

 

 

Или ещё более короткой

При такой записи пользуются двумя правилами:

1. Соглашение о суммировании. По индексу, встречающемуся дважды (немой индекс), производят суммирование от 1 до 3.

2. Соглашение о ранге. Индекс, встречающийся один раз (свободный индекс), пробегает значения от 1 до 3.

Таким образом, уравнение с одним свободным индексом означает запись трёх уравнений.

Помимо скалярных и векторных полей в механике сплошной среды рассматриваются ещё и тензорные поля.

Многие задачи физики и механики сплошной среды приводят к понятию тензора. Тензор, хотя и является обобщением понятия вектора, имеет гораздо более сложный характер. Разница заключается в том, что вектор просто интерпретируется геометрически, у тензора такого наглядного представления не существует.

Описание происходит в прямолинейных (декартовых) системах координат. Координаты обозначаем х₁, х₂, х₃, единичные векторы по осям - i₁,i₂, i₃.

Предположим, что в результате вращения осей координат как единого целого вокруг начала координат, мы перешли к новой системе координат Ox₁´x₂´x₃´. Обозначим косинус угла между осями x_i и x´_k старой и новой системы a_ik = cos (x´_i^x_k). Для удобства пользования дальнейшими формулами приводим таблицу.

Таблица 3.1

	х1	х2	х3
х´1	a11	a12	a13
х´2	a21	a22	a23
х´3	a31	a32	a33

 

 

Теперь перейдём к определению тензора. Пусть каждому направлению соответствует вектор (не обязательно коллинеарный n).

Направлениям осей соответствуют векторы , разложение которых опишем подробно:

 

(3.6.1)

 

Если векторы для любого направления выражаются лишь через 3 вектора согласно формуле

 

, (3.6.2)

то множество векторов образует тензор Т.

Обозначим векторы, определяемые тензором для направлений новых осей . Подставляя в предыдущее выражение (2.6.2) вместо направления новых осей (по очереди), получим:

 

(3.6.3)

 

Эти условия равносильны (2.6.2) и их можно взять за новое определение тензора, если для каждой системы координат имеется тройка векторов , преобразующаяся по формулам (2.6.3) в тройку , отвечающую другой системе координат, то этим определяется тензор.

Аналогичное определение можно дать и для вектора, если в уравнении (2.6.3) заменить векторы на проекции вектора. Поэтому тензор является обобщением вектора. Формулы (2.6.3) можно записать в сокращённом виде

 

.

 

Тензор определяется векторами , которые в свою очередь определяются своими компонентами (3.6.1). Поэтому тензор вполне задаётся 9 числами, которые называются компонентами тензора, и обычно записываются в виде

 

.

 

Из (2.6.1) и (2.6.3) можно получить формулы преобразования компонент тензора при переходе к новой системе координат:

, (3.6.4)

где t´_kl – компоненты в новой системе.

Эти формулы можно также взять за определение тензора.

Простейшими примерами являются нулевой и единичный тензоры.

Согласно (2.6.4) у нулевого тензора в любой системе координат компоненты равны 0.

.

Для того, чтобы в дальнейшем не испытывать трудностей при использовании тензоров, запишем некоторые математические правила.

ОПЕРАЦИИ НАД ТЕНЗОРАМИ

 

1. Умножение тензора на скаляр есть новый тензор, все компоненты которого умножены на этот скаляр (шаровой тензор):

.

2. Сумма тензоров есть новый тензор с компонентами, являющимися суммой одноимённых компонент слагающих тензоров. Так доля Т = Т´ + T´´ должна быть t_ik = t´_ik + t´´_ik. То, что такая сумма есть тензор, следует из линейности формул (4*).

3. Тензор, обладающий свойством t_ik = t_ki, называется симметричным. Если таблицу компонент такого тензора «повернуть» вокруг главной диагонали (то же, что и у определителя), то получится тот же самый тензор.

4. Пусть имеется тензор Т с компонентами t_ik.Составим таблицу с компонентами t_ki (т.е. повёрнутую вокруг главной диагонали). Можно показать, что она также определяет тензор, который называется сопряжённым и обозначается Т*. Очевидно, что (T*)* = T.

5. Тензор, у которого t_ik = - t_ki, называется антисимметричным. Из определения следует, что t_ii = - t_ii, т.е. t_ii = 0 – компоненты главной диагонали равны 0. Антисимметричный тензор всегда можно записать в виде .

6. Всякий тензор можно разложить на сумму симметричного и антисимметричного тензоров: Т = ½ (Т + Т*) + ½ (Т - Т*). Легко проверить, что в первой скобке стоит симметричный, а во второй – антисимметричный тензор.

7. Пусть дан тензор Т и вектор .Скалярное произведение тензора Т на вектор справа есть новый вектор , обозначаемый (Т, ), компоненты которого равны

 

(i = 1,2,3).

8. Скалярное произведение тензора Т на вектор слева есть вектор , обозначаемый (,Т), компоненты которого равны

.

 

9. Из приведённых определений операций ясно, что они должны обладать ассоциативностью и дистрибутивностью, т.е., например,

 

(Т₁ + Т₂ ) = (Т₁, ) + (Т₂, );

( ₁ + ₂, Т) = ( ₁, Т) + ( ₂, Т);

(l , Т) = (, lТ) = l (, Т).

 

Но коммутативностью эти операции не обладают, т.е. в общем случае (, Т) ¹ (Т, ). Если Т – симметричный тензор, то равенство выполняется.

10. Пусть даны тензоры А, В с компонентами a_ik и b_ik. Скалярное произведение тензора А на тензор В (А, В)есть новый тензор Т, компоненты которого вычисляются по формулам:

 

.

 

Это определение совпадает с определением матричного умножения. Компонент t_ik получается умножением строки с номером i тензора А на столбец с номером j тензора В. Например, t₂₃ = а₂₁b₁₃ + а₂₂ b₂₃ + а₂₃ b₃₃.

11. Скалярное произведение тензоров не обладает свойством коммутативности, т.е. вообще говоря, (А,В) ¹ (В,А).

Перечислим некоторые свойства, которыми оно обладает:

 

(lА,В) = (А,lВ) = l (А,В); (l - скаляр);

(А₁ + А₂, В) = (А₁,В)+ (А₂,В);

(А,В₁ + В₂) = (А,В₁) + (А,В₂);

[(А,В), С) = (А,(В,С)].