Линейно-упругое тело называется иначе Гуковским телом.

Относительное изменение объёма (дилатация D) определяется в этом случае выражением

(5.3.15)

Из формулы видно, что уменьшение объёма, происходящее за счёт сокращения размера в направлении действия напряжения, компенсируется увеличением объёма за счёт расширения в перпендикулярных направлениях. Из выражения (5.3.15) можно определить коэффициент Пуассона для несжимаемой среды, объём которой не меняется под действием приложенного напряжения. Чтобы это реализовать, при одноосном сжатии n должно быть равно ½. Под действием одноосного сжатия несжимаемая среда сокращается в направлении приложенного напряжения и расширяется на величину, вдвое меньшую в каждом из перпендикулярных направлений.

Одноосная деформация. Состояние одноосной деформации характеризуется тем, что отличной от 0 является только одна главная компонента деформации, например, e₁.Тогда (5.3.1) - (5.3.3) дают

(5.3.16)

, (5.3.17)

а (5.3.4) - (5.3.6) упрощаются следующим образом:

, (5.3.18) . (5.3.19)

Рис. 5.7. Плоское напряжённое состояние

Плоское напряжённое состояние. Возникает тогда, когда имеется только одно нулевое главное напряжение, например, s₃ = 0,s₂ ¹ 0,s₁¹ 0. Тонкая пластина нагружена с боков. Определим компоненты деформации (5.3.4) - (5.3.6)

, (5.3.20)

, (5.3.21)

. (5.3.22)

Плоская деформация. В этом случае равна нулю только одна главная деформация, например, e₃ = 0.

Рис. 10. Пример плоской деформации

На (рис.5.7) длинная балка жёстко зажата между двумя стенками, которые не позволяют ей расширяться или сжиматься в продольном направлении. Кроме того, вдоль всей длины на балку действуют равномерно распределённые напряжения s₁и s_2. (5.3.1)-(5.3.3) в этом случае становятся:

s₁ = (l + 2G)e₁ + le₂; s₂ = le₁ + (l + 2G)e₂; s₃ = l(e₁ + e ₂ ).

Из равенства (5.3.6) следует s₃ = n(s₁ + s₂), что совместно с (5.3.7) и (5.3.9) даёт

.

ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИКИ

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Задачи гидродинамики делятся на два основных класса: внутренние и внешние.

К внешним задачам относятся задачи обтекания тела потоками жидкости или газа, или о движении тела в жидкой или газообразной среде. Внешними задачами являются задачи, связанные с полётами самолётов, снарядов и других тел, движущихся в атмосфере.

Внутренние задачи занимаются движением жидкости в каналах. В этот класс задач входят такие, как:

1. течение жидкостей в трубопроводах (водопровод, газо-и нефтепроводы, кровеносная система, тепло и газоснабжение);

2. течение воды в открытых каналах и реках (ирригационные и осушительные системы, расчёт паводков, судопропускные сооружения и т.д.).

При решении внешней задачи основной акцент делается на определение силового взаимодействия потока и тела. Определение силы, действующей со стороны набегающего потока, или силы сопротивления движению тела в жидкости - цель таких задач. Поэтому при анализе и решении внешних задач, как правило, используются уравнения, выражающие закон изменения количества движения: дифференциальные уравнения Навье - Стокса или Рейнольдса, а также интегральные формы этого закона.

При решении внутренней задачи чаще всего стараются определить потери энергии в потоке жидкости. Здесь используются уравнения, выражающие закон изменения энергии, чаще всего в виде различных форм уравнения Бернулли.

В основе гидродинамики, как части гидромеханики, положены три основных закона механики:

I. закон сохранения массы;

II. закон сохранения количества движения (импульса);

III. закон сохранения энергии.

Эти законы формулируются для конечных объёмов (размеры ограничены и оговорены). В МСС используются два подхода к описанию движения сплошной среды: Лагранжев и Эйлеров. Соответственно при Лагранжевом подходе используется движующиеся (материальные, индивидуальные) объемы , состоящая при всех t из одних и тех же частиц, граница которых непроницаема. При втором подходе – неподвижные объемы с проницаемой границей . Далее будем использовать первый подход.

Законы гидродинамики для конечных объёмов часто упрощаются с учётом конкретных условий на поверхностях, ограничивающих данный объём. Такие упрощенные уравнения используются в разделе, называемом гидравликой. По сути, это теоретические основы технической механики жидкости. Они особенно эффективны, когда исследуются интегральные (осреднённые по времени и пространству) гидромеханические характеристики потоков.

В том случае, когда есть необходимость определять гидромеханические характеристики и величины в каждой точке объёма жидкости, используют дифференциальные уравнения. Они тоже являются фундаментальными законами механики, но относятся к точке сплошной среды. Если эти уравнения дополнить каким-либо реологическим законом, то можно определить структуру поля скорости и напряжённое состояние в любой точке потока жидкости.

Практическое использование этих уравнений, в зависимости от изложенных здесь подходов, преобразуется из одного вида в другой с помощью теоремы Остроградского - Гаусса. Так при выводе гидравлических уравнений объёмные интегралы заменяются на поверхностные с тем, чтобы использовать особенности условий на поверхностях, ограничивающих поток, для упрощения уравнений. При выводе дифференциальных уравнений, наоборот, поверхностные интегралы заменяются на объёмные, чтобы можно было исследовать гидромеханические величины в точках внутри потока. При этом условия на границах потока вводятся как граничные или краевые условия для дифференциальных уравнений.

 

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МАССЫ

Выделим в пространстве контрольный материальный объём , ограниченный произвольной контрольной поверхностью . Пусть плотность жидкости в каждой точке пространства задана - плотность.

Масса бесконечно малого объёма , в момент времени t равна . Масса объёма жидкости, находящейся внутри замкнутой поверхности , равна:

. (6.2.1)

Согласно закону сохранения массы, при движении жидкого объёма его масса остаётся неизменной. Изменение во времени гидромеханической характеристики, относящейся к движущемуся жидкому объёму, который содержится в начальный момент внутри контрольной поверхности , выражается в виде субстанциональной производной от этой характеристики. Представим закон сохранения массы, используя эту производную в виде:

. . (6.2.2)