Течение ньютоновской жидкости в круглой трубе

Рассмотрим ламинарное течение вязкой (ньютоновской) жидкости в круглой трубе радиуса R. При таком течении цилиндрические слои жидкости (которые должны мыслиться бесконечно тонкими) перемещаются в направлении оси трубы z, совершая "телескопическое" движение (рис. 8.2, а). Так как жидкость несжимаема, то скорость остается постоянной по длине трубы и зависит только от расстояния до центральной оси. Для определения зависимости составим уравнение равновесия сил, действующих на цилиндрический объем жидкости длиной и радиусом (рис. 8.3, б).

Сила вязкого сопротивления, действующая на внешнюю поверхность цилиндра со стороны внешних слоев, равна . Эта сила уравновешивается раз­ницей сил давления, действующих на основания цилиндра, поэтому

, откуда (8.2.1)

Рис. 8.2. Ламинарное течение ньютоновской жидкости в трубе

(знак "минус" означает, что сила сопротивления направлена против оси z). По закону Ньютона

, откуда

.

Интегрируя это уравнение, получаем с учетом граничного усло­вия зависимость

. (8.2.2)

Измеряемой в опытах величиной является расход Q -объем жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы за единицу времени, поэтому вычислим эту величину. Для этого разобьем сечение трубы на узкие кольца шириной dr. Расход жидкости через кольцо с внутренним диаметром равен

Расход через всё сечение может быть получен простым интегрированием:

(8.2.3)

Таким образом, в случае ньютоновской жидкости наблюдается линейная связь между перепадом давления и расходом жидкости.

Определив среднюю по сечению скорость как получим отсюда

Распределение (8.2.2) было получено Стоксом (Stokes, 1849 г.) и Гагенбахом (Hagenbach, 1860 г.). Последний назвал соотношение законом Пуазейля в честь французского ученого (Poiseuille, 1797-1869), который в экспериментах с водой установил эмпирическую зависимость между расходом, геометрическими размерами тела и давлением.

НЕНЬЮТОНОВСКИЕ ЖИДКОСТИ

Гипотеза Ньютона о линейной связи между тангенциальным напряжением и скоростью сдвига оказалась очень удобным приближением, справедливым для абсолютного большинства низкомолекулярных жидкостей, но при рассмотрении реологических свойств жидкостей, склонных к структурообразованию (суспензий, эмульсий, растворов полимеров, красок, «тяжёлых нефтей», глинистых растворов и т.д.), были обнаружены многочисленные отклонения от закона Ньютона. Такие жидкости называются неньютоновскими, и для них реологическая кривая (или, как часто говорят, кривая течения) не является линейной, т.е. вязкость не остаётся постоянной, а зависит от скорости сдвига или от предыстории деформации материала.

Типичным примером неньютоновских жидкостей являются полимерные системы, в которых длинные гибкие молекулы, зацепляясь друг за друга, образуют некую пространственную структуру («сетку»), резко повышающую вязкость. Под действием сдвиговых деформаций часть структурных связей разрушается, что приводит к уменьшению вязкости.

Отметим тот факт, что Пуазейль был по профессии медиком и интересовался прохождением крови через малые кровеносные сосуды. Сейчас известно, что кровь не является ньютоновской жидкостью, поэтому автор опыта, экспериментально подтвердившего на примере воды предположения Ньютона, в каком-то смысле является первым исследователем неньютоновских сред.