Базовые задачи гидродинамики, используемые в нефтегазовой отрасли

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ

При промывке и цементировании скважин простейшими базовыми задачами гидромеханики, допускающими аналитическое решение, являются задачи о течении жидкости в плоской щели (между двумя параллельными бесконечными пластинами), в круглой трубе и в кольцевом пространстве между двумя соосными цилиндрами.

Для их решения необходимо исходить из следующих условий:

· жидкость несжимаема(r = const);

· течение установившееся();

· все частицы жидкости движутся параллельно твёрдым стенкам канала, что означает, что при совмещении координатной оси Oz с направлением течения, отличной от нуля, будет лишь одна составляющая скорости

· концевые эффекты пренебрежимо малы, то есть, картина течения в любом сечении, нормальном к потоку, идентична , что справедливо для сечений, удалённых от концов канала на расстояние равное 0.035 d ×Re, где d - характерный размер поперечного сечения: для щели - это расстояние между плоскостями; для трубы - её диаметр; для кольцевого пространства - удвоенный зазор;

· вдоль потока действует постоянный градиент давления равный , где Dр > 0 - полный перепад давления между двумя сечениями, находящимися на расстоянии L друг от друга;

· на жидкость действует объёмная сила F_z = ±rg (F_x = F_y = 0), обусловленная только силой тяжести, где принимают знак (+), если жидкость движется вниз, и знак (-)- вверх, когда положительное направление оси Оz совпадает с направлением движения.

Скорости частиц жидкости в рассматриваемых каналах симметричны относительно плоскости yz - для щели и относительно оси Oz - для круглой трубы и кольцевого пространства, то V_z = V(x) и V_z= V(r) соответственно.

Поэтому, согласно соотношениям Коши и уравнениям состояния при течении жидкости в щели, отличными от 0, будут только одна скорость деформации и одно напряжение сдвига:

(10.1.1)

Для течения в трубе и кольцевом пространстве

(10.1.2)

Система дифференциальных уравнений существенно упрощается:

· уравнения движения и уравнения неразрывности удовлетворяются тождественно;

· уравнение механического состояния в плоской щели принимает вид

 

,

 

а в кольцевом пространстве

,

где DR = Dp ± rgL - гидродинамические потери давления, обусловленные только движением жидкости независимо от направления течения.

Интегрирование этих уравнений при условиях s_xz = 0 при х = 0 для щели и s_rz = 0 при r = 0 для круглой трубы приводит к выражениям:

(10.1.3)

, (10.1.4)

где постоянная интегрирования с² ¹ 0 только при течении жидкости в кольцевом пространстве.

Соотношения (10.1.1) - (10.1.4) справедливы при ламинарном течении любой жидкости (ньютоновской или неньютоновской). Сохранятся они и при турбулентном режиме течения, но под величинами V, DP,s_xz, s_rz будут пониматься усреднённые по времени значения этих величин:

.

Далее рассматриваются аналитические решения граничных задач течения жидкости в щели и в кольцевом пространстве (в зависимости от характера течения и реологических свойств жидкости).

При этом определяются основные интегральные гидродинамические характеристики потока:

· объёмный расход ;

· средняя скорость ;

· коэффициент сопротивления ;

где S, S_d - соответственно площади поперечного сечения и боковой смоченной поверхности канала; -коэффициент трения Фаннинга; - касательное напряжение у поверхности канала; - кинетическая энергия единицы объёма жидкости.

Определение объёмного расхода по заданному перепаду давления обычно называют прямой задачей гидродинамики, а определение перепада давления по заданному расходу - обратной.

Все результаты, рассматриваемые далее, относятся к решениям прямой граничной задачи, а полученные зависимости используются для вычисления гидравлических потерь. Для этой цели определяется закон сопротивления, т.е. зависимость коэффициента l от характеристик течения.

Основополагающей задачей гидродинамики (гидравлики) является экспериментальное установление закона сопротивления.

Если l не зависит от Dр, то для коэффициента сопротивления получаем известный закон Дарси-Вейсбаха, широко используемый для определения гидравлических потерь в цилиндрических каналах при турбулентном режиме течения:

.