Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Гидромеханическая интерпретация теоремы Остроградского - Гаусса
Зафиксируем неподвижную в пространстве контрольную поверхность А, ограничивающую контрольный объём V. Сквозь эту поверхность протекает жидкость со скоростью . Выделим на ней элементарную площадку dА. Единичный вектор нормали к площадке . Если воспользоваться ортами i, j, k, то
.
Обозначим модуль скорости ; по определению . Скалярное произведение двух векторов можно выразить через их проекции:
, (3.4.1) а также через модули векторов и угол между ними,
(3.4.2) где un - нормальная к поверхности dА составляющая скорости. Таким образом,
. (3.4.3)
Используя (3.4.3), запишем объёмный расход жидкости Q через поверхность dА:
. (3.4.4)
Согласно теореме Остроградского - Гаусса имеем
. (3.4.5)
Доказательство этой зависимости проведём на основе гидромеханических представлений. Зафиксируем в пространстве параллелепипед с бесконечно малыми рёбрами dx, dy, dz, поверхностью DiА и объёмом DiV = dxdydz. На каждой грани параллелепипеда значение un вследствие её малости постоянно и равно проекции скорости на координатную ось, к которой эта грань нормальна. Пусть проекции скорости имеют направления, указанные на рисунке. Расход жидкости , протекающий сквозь поверхность DiА, определим как разность между объёмом жидкости, вытекающей из параллелепипеда в единицу времени: и объём жидкости, втекающей в него за то же самое время:
.
В результате имеем
или
, (3.4.6)
где div u - дивергенция вектора скорости, которая определяет собой скалярную величину, определяемую равенством . (3.4.7)
Если жидкость несжимаемая, то из закона сохранения массы следует, что объём жидкости, втекающей в элементарный объём DiV равен объёму жидкости, вытекающей из него, так что . (3.4.8) Поскольку объём не может быть равным 0, из уравнения (3.4. 6) следует, что в случае несжимаемой жидкости div u = 0. (3.4.9) Уравнение (2.4.9) называют уравнением несжимаемости жидкости. Оно справедливо в случае неустановившегося движения жидкости, когда для каждого момента времени и в каждой точке потока. Чтобы обобщить равенство (3.4.6) для произвольного объёма V, ограниченного произвольной поверхностью А (рис.3.9.) разобьём V на элементарные параллелепипеды. Для каждого из них можно записать равенство (3.4. 6).
Складывая все эти равенства, можно заметить, что в левой части каждый из интегралов по поверхности DiА состоит из шести слагаемых по числу граней параллелепипедов. При этом все слагаемые, которые относятся к поверхностям, разделяющим параллелепипеды, взаимно уничтожаются, так как каждая такая поверхность входит в поверхностные интегралы для двух соседних параллелепипедов, и тот объём жидкости, который вытекает из одного параллелепипеда, втекает в другой. Останутся только те части от интегралов , которые относятся к тем граням элементарных параллелепипедов, которые совпадают с контрольной поверхностью А. Следовательно, в левой части сумма интегралов, относящихся ко всем параллелепипедам, будет равна
. (3.4.10)
В правой части суммы всех уравнений (3.4. 6) по определению интеграла как предела суммы бесконечно малых слагаемых имеем (3.4.11) Таким образом, для объёма V произвольной формы справедливо равенство
(3.4.12)
Представив , получим ,
что и составляет содержание теоремы Гаусса - Остроградского.
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-26; просмотров: 224; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.91.177.91 (0.007 с.) |