Поверхность уровня и ее свойства

 

Поверхностью уровня называется поверхность, все точки которой имеют одно и тоже значение рассматриваемой функции. В гидравлике особо важное значение имеет поверхность равного давления. Во всех точках такой поверхности уровня гидростатическое давление одинаково, т.е. р = const и dр = 0, поэтому из уравнения (2.13) следует

,

т.к. плотность жидкости ρ≠0, то

. (2.31)

Формула (2.31) называется уравнением поверхности равного давления.

Поверхность равного давления обладает двумя свойствами.

1. Две поверхности равного давления не пересекаются между собой.

Допустим, что поверхность равного давления р₁ пересекается с поверхностью равного давления р₂. Тогда в точках линии пересечения этих поверхностей давление было бы одновременно равным и р₁ и р₂, что невозможно, т.к. р₁≠ р₂. Следовательно, поверхности равного давления не пересекаются.

2. Внешние объемные силы направлены нормально к поверхности уровня.

Докажем это свойство. По второму закону Ньютона, элементарная работа сил, действующих в жидкости, равна:

.

Согласно формуле (2.31), имеем dA = 0. С другой стороны, из механики твердого тела известно, что

,

где α – угол между вектором силы и направлением движения;

F – сила, действующая на единицу объема жидкости;

dl – элементарный путь.

Так как F ≠ 0, dl ≠ 0, dA=0, то получаем или . Если жидкость находится только в поле сил земного тяготения, то ускорения X, Y, Z вдоль координатных осей равны: X = 0, Y = 0, Z = – g. После подстановки этих значений в уравнение (2.31) имеем

или . (2.32)

Интегрируя выражения (2.32) получаем

или . (2.33)

Уравнения (2.33) представляют собой семейство горизонтальных плоскостей. Следовательно, поверхностью равного давления в поле сил тяжести является горизонтальная плоскость.

ОТНОСИТЕЛЬНОЕ РАВНОВЕСИЕ ЖИДКОСТИ

ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ СОСУДЕ

 

Относительным равновесием жидкости называется такой случай ее движения, при котором отдельные ее частицы не смещаются одна относительно другой, и вся масса жидкости движется как твердое тело.

Предположим, что цилиндр, наполненный жидкостью до высоты h, приведен во вращательное движение вокруг вертикальной оси OZ с угловой скоростью ω (рис.2.11).

Рис 2.11

Вращающиеся стенки цилиндра приведут во вращение ближайшие к стенкам слои жидкости, а затем, вследствие вязкости жидкости, и всю ее массу. По истечении некоторого времени вся жидкость будет вращаться, примерно стой же угловой скоростью ω, что и сосуд.

Допустим, что такой момент времени наступил. Рассмотрим два интересующих нас вопроса.

1. Какую форму будет иметь поверхность равного давления, и в частности, свободная поверхность?

2. Каков закон распределения гидростатического давления?

Чтобы ответить на поставленные вопросы, рассмотрим уравнение поверхности равного давления (2.31). Для нахождения проекций ускорения выберем в жидкости точку А и покажем ускорения возникающие под действием сил, действующих в жидкости. Силами, действующими в жидкости, являются сила земного тяготения (направленная вертикально вниз по оси OZ) и центробежная сила (направленная вдоль оси ОХ к периферии). В результате действия этих сил полное ускорение точки А будет складываться из ускорения свободного падения g и центробежного ускорения ε.

Составляющие массовых сил, действующих в данном случае на жидкость, X, Y, и Z будут равны:

; ; , (2.34)

где ε_х, ε_y – проекции центробежного ускорения по осям х и y.

Подставляя выражения (2.34) в уравнение (2.31) получаем

. (2.35)

После решения уравнения (2.35) относительно dz и его интегрирования получаем

. (2.36)

Постоянную интегрирования С находим из следующих условий: Х = 0, Y= 0, Z = h^*. Следовательно С = h^*, т.е. постоянная интегрирования равна глубине залегания самой нижней точки свободной поверхности (вершины параболы).

С учетом постоянной интегрирования С, и при условии, что величина h^* определяется из условия неизменности первоначального объема жидкости, т.е.

, (2.37)

уравнение (2.36) принимает вид:

. (2.38)

Полученное уравнение (2.38) является уравнением свободной поверхности жидкости во вращающемся сосуде. Согласно полученному уравнению (2.38), формой свободной поверхности является параболоид вращения.

В уравнении (2.38), x² + y²= r², где r – координата рассматриваемой точка А. При условии, что r = R, т.е. рассматриваемая точка А находится на внутренней поверхности вращающегося сосуда, наблюдается максимальный подъем жидкости на высоту z_max. Для определения z_max в уравнение (2.38) подставляем выражение x² + y²= r² и получаем

. (2.39)

Согласно полученному уравнению (2.39) можно сделать вывод, что жидкость во вращающемся сосуде поднимается на столько, на сколько и опускается.

Теперь установим закон распределения гидростатического давления.

Подставляя выражения (2.34) в уравнение (2.13) получим

. (2.40)

Выполняя интегрирования уравнения (2.40) получим

. (2.41)

Постоянную интегрирования С находим из следующих условий: Х = 0, Y= 0, Z = h^*, р=р_атм.

С учетом вышеперечисленного, уравнение (2.41) принимает следующий вид:

(2.42)

или

. (2.43)

Уравнения (2.42) и (2.43) являются уравнениями закона распределения гидростатического давления.