Теория ламинарного режима движения жидкости

ПРОФИЛЬ СКОРОСТИ В ЖИВОМ СЕЧЕНИИ КРУГЛОГО

ТРУБОПРОВОДА

В круглом трубопроводе выберем поперечное сечение радиусом r и установим для него напряжение трения (рис. 5.1).

Рис 5.1

С одной стороны, по закону внутреннего трения Ньютона имеем , а с другой стороны, по основному уравнению равномерного движения:

, т.к. .

Приравнивая правые части этих уравнений, имеем: . Отсюда

. (5.1)

Интегрирование уравнения (5.1) дает

. (5.2)

Постоянную интегрирования находим из условия: при r=r₀ (на стенке) скорость υ=0. Тогда имеем или

. (5.3)

Следовательно, профиль скорости примет вид:

. (5.4)

Зависимость (5.4) является уравнением параболы. Из уравнения (5.4) видно, что максимальное значение скорости имеет место при r=0 (на оси трубопровода):

. (5.5)

Если уравнение (5.5) подставить в уравнение (5.4), то получим уравнение закона Стокса:

. (5.6)

Для построения эпюры касательных напряжений снова обратимся к основному уравнению равномерного движения. Из него следует, что величина τ изменяется в зависимости от r_Г по линейному закону, причем τ=τ_max при r=r₀, т.е. максимальные касательные напряжения будут на стенке трубопровода:

. (5.7)

 

РАСХОД ЖИДКОСТИ

Определим расход жидкости по трубопроводу, считая известным поле скоростей в живом сечении. Для этого выберем элементарное кольцевое сечение толщиной dr, имеющее радиус r (рис. 5.1).

Элементарный расход равен:

. (5.8)

Интегрирование уравнения (5.8) дает

, (5.9)

или , (5.10)

где d – диаметр трубопровода.

Зависимость (5.10) называется уравнением Пуазейля.

Определим среднюю скорость потока жидкости, пользуясь законом сплошности потока:

, (5.11)

или , (5.12)

т.е. и тогда уравнение (5.4) можно записать в виде:

. (5.13)

 

 

ПОТЕРИ НАПОРА ПО ДЛИНЕ КРУГЛОГО

ТРУБОПРОВОДА

Найдем потери напора по длине трубопровода, пользуясь зависимостью (5.12):

,

где l – длина трубопровода.

Отсюда

. (5.14)

Из уравнения (5.14) следует, что при ламинарном режиме движения потери по длине пропорциональны средней скорости в первой степени: h_дл~ .

Преобразуем уравнение (5.14). Для этого домножим числитель и знаменатель правой части на 2∙υ_ср. Получим

или , (5.15)

где Re – число Рейнольдса.

Из уравнения (5.15) следует, что потери напора по длине выражаются через скоростной напор.

Величину, показывающую, во сколько раз напор, затраченный на преодоление трения, отличается от скоростного напора, называетсякоэффициентом сопротивления по длине:

. (5.16)

Отношение , входящее в зависимость (5.16), называется коэффициентом гидравлического трения(коэффициент Дарси):

, (5.17)

следовательно

. (5.18)

Подставим зависимость (5.17) в уравнение (5.15) и получим уравнение для расчета потерь напора по длине при ламинарном режиме движения жидкости:

. (5.19)

Полученное уравнение (5.19) называется формулой Дарси-Вейсбаха.

 

Вопросы для самопроверки

1. Какой профиль будет иметь эпюра скорости при ламинарном режиме движения жидкости?

2. В каком месте живого сечения круглого трубопровода будет наблюдаться максимальная скорость движения жидкости? Где будут наблюдаться максимальные касательные напряжения?

3. Чему будет равна средняя скорость движения жидкости при ламинарном режиме течения?

4. Как рассчитываются потери напора по длине при ламинарном режиме течения?

5. Запишите формулу Дарси – Вейсбаха? Что называется коэффициентом гидравлического трения? Чему он равен при ламинарном режиме течения?

 

ГЛАВА 6