Сглаживание экспериментальных данных с ошибками

Если некоторый набор экспериментальных данных содержит слу­чайные отклонения, а зависимость () задана значениями f_t для рав­ноотстоящих абсцисс то по ряду можно уточнить значения орди­нат, т.е. провести сглаживание зависимости (). Сглаженные орди­наты записываются в виде

Линейное сглаживание для п точек по трем ординатам проводится с помощью формул:

(3.26)

Линейное сглаживание по пяти ординатам проводится по форму­лам:

 

φ ₀ = (Зƒ₀ + 2ƒ₁ + ƒ₂ - ƒ₄)/4, i = 0,

φ ₁ = (4ƒ₀ + 3ƒ₁ + 2ƒ₂ + ƒ₃)/10, i = 1,

φ _i = (ƒ_i-2 + ƒ_i-1 + ƒ_i + ƒ_i+1)/5, 2 ≤ i ≤ n-2, (3.27)

φ _n-1 = (ƒ_n-3 + 2ƒ_n-2 + 3ƒ_n-1 + 4ƒ_n)/10, i = n-l.

φ _n = (3ƒ_n + 2ƒ_n-1 + ƒ_n-2 - ƒ_n-4)/5, i = n.

 

Для функций ƒ_i (x‍_i),сильно отличающихся от линейных использу­ется нелинейное сглаживание с помощью полиномов высоких степеней m. При m = 3 необходимое число координат составляет семь. Сгла­живание при семи ординатах производится по формуле

 

φ _i = (a₁ƒ_i-3 + a₂ ƒ_i-2 + a₃ ƒ_i-1 + a₄ ƒ_i + a₅ ƒ_i+1 + a₆ ƒ_i+1 + a₇ ƒ_i+3)/42, (3.28)

 

где коэффициенты a₁ - a₇ берутся из табл. 3.2 в зависимости от но­мера ординаты.

Таблица 3.2. Коэффициенты формулы (3.28)

 

i	a1	a2	a3	a4	a5	a6	a7
			-4	-4			-2
					-4	-7
	-4					-4
	-4						-4
…	-4 …	…	…	…	…	…	-4 …
n -2		-4					-4
n -1		-7	-4
n	-2			-4	-4

 

 

Глава 4

Определенные интегралы

Классификация методов

Ставится задача вычислить интеграл вида

b
J = ∫ƒ(x)dx,(4.1)

a

где a и b — нижний и верхний пределы интегрирования; ƒ(x) — непре­рывная функция на отрезке [ а, b ].

К численному интегрированию обращаются, когда нельзя через эле­ментарные функции аналитически записать первообразную интеграла (4.1) или когда подобная запись имеет сложный вид.

Сущность большинства методов вычисления определенных инте­гралов состоит в замене подынтегральной функции ƒ(x) аппроксими­рующей функцией φ(x), для которой можно легко записать первооб­разную в элементарных функциях, т.е.

ь ь

∫ƒ(x)dx = ∫ φ(x)dx + R = S + R, (4.2)

а а

где S — приближенное значение интеграла; R — погрешность вычис­ления интеграла.

Используемые на практике методы численного интегрирования мож­но сгруппировать в зависимости от способа аппроксимации подын­тегральной функции. Дадим краткую характеристику групп наиболее распространенных методов.

Методы Ньютона-Котеса основаны на полиномиальной аппрокси­мации подынтегральной функции. Методы этого класса отличаются друг от друга степенью используемого полинома, от которой зависит коли­чество узлов, где необходимо вычислить функцию ƒ(x). Алгоритмы ме­тодов просты и легко поддаются программной реализации.

Сплайновые методы базируются на аппроксимации подынтеграль­ной функции сплайнами, представляющими собой кусочный полином.

Методы различаются по типу выбранных сплайнов. Такие методы име­ет смысл использовать в задачах, где алгоритмы сплайновой аппрок­симации применяются для обработки данных.

В методах наивысшей алгебраической точности (методы Гаусса-Кристоффеля и др.) используют неравноотстоящие узлы, расположен­ные по алгоритму, обеспечивающему минимальную погрешность ин­тегрирования для наиболее сложных функций при заданном количе­стве узлов. Методы различаются способами выбора узлов и широко используются для интегрирования, в том числе они применимы и для несобственных интегралов. Хотя из-за необходимости хранения чи­словых констант и стандартизации пределов интегрирования програм­мы указанных методов требуют несколько большего объема памяти по сравнению с методами Ньютона-Котеса.

В методах Монте-Карло узлы выбираются с помощью датчика слу­чайных чисел, ответ носит вероятностный характер. Методы оказыва­ются эффективными при вычислении интегралов большой кратности.

В класс специальных группируются методы, алгоритмы которых разрабатываются на основе учета особенностей конкретных подын­тегральных функций, что позволяет существенно сократить время и уменьшить погрешность вычисления интегралов.

Независимо от выбранного метода в процессе численного интегри­рования необходимо вычислить приближенное значение S интеграла (4.1) и оценить погрешность R (4.2). Погрешность будет уменьшать­ся при увеличении количества разбиений N интервала интегрирования [а, b]за счет более точной аппроксимации подынтегральной функции, однако при этом будет возрастать погрешность за счет суммирования частичных интегралов, и последняя погрешность с некоторого значе­ния No становится преобладающей (рис. 4.1) [ 16, 1 ].

 

 

Рис. 4.1. Зависимость полной погрешности R от количества разбиений N интервала интегрирования

 

Это обстоятельство должно предостеречь от выбора чрезмерно большого числа N и привести к необходимости разработки способа оценки погрешности R выбранного метода интегрирования.

 

Методы прямоугольников

Рассмотрим сначала простейшие методы из класса методов Ньютона-Котеса, когда подынтегральную функцию f( x ) на интервале ин­тегрирования заменяем полиномом нулевой степени, т.е. константой. Подобная замена является неоднозначной, так как константу можно выбрать равной значению подынтегральной функции в любой точке интервала интегрирования. Приближенное значение интеграла опре­делится как площадь прямоугольника, одна из сторон которого есть длина отрезка интегрирования, а другая — аппроксимирующая кон­станта. Отсюда происходит и название методов. Как будет показано ниже, из методов прямоугольников наименьшую погрешность имеет метод средних прямоугольников, когда константу берем равной значе­нию f (x)в средней точке х интервала интегрирования [ x _i-1, x_i ](рис. 4.2).

 

F(x)

х ₀ х х ₁ х_п х

Рис. 4.2. Метод средних прямоугольников

 

Методы левых (рис. 4.3а) и правых прямоугольников (рис. 4.36), заменяющих интеграл нижней и верхней суммами Дарбу, имеют срав­нительно высокую погрешность.

Запишем выражение для интеграла в интервале [ x_i, x_i + h ], полу­ченное методом средних прямоугольников

 

x_i + h

∫ ƒ(x)dx =hƒ()+ R, (4.3)

x_i

х₀ х₁ х_п х a) х₀ х₁ х_п х б)

Рис. 4.3. Методы левых (а) и правых (б) прямоугольников

 

где = x_i + h/2, R = J_точн- J_прибл, и оценим погрешность R. Для этого разложим подынтегральную функцию ƒ(x) в ряд Тейлора около средней точки x

(4.4)

в малой окрестности точки x этот ряд с высокой точностью представ­ляет функцию f (x)при небольшом количестве членов разложения. По­этому, подставляя под интеграл вместо функции f (x)ее тейлоровское разложение (4.4) и интегрируя его почленно, можно вычислить инте­грал с любой наперед заданной точностью:

h³

=hƒ() +—ƒ″() + … (4.5)

24

При интегрировании и подстановке пределов получаем, что все инте­гралы от членов ряда (4.4), содержащих нечетные степени (x — ) об­ращаются в нуль.

Сравнивая отношения (4.3) и (4.5), можно записать выражение для погрешности R.. При малой величине шага интегрирования h основной вклад в погрешность R будет вносить первое слагаемое, которое на­зывается главным членом погрешности R_0iвычисления интеграла на интервале [x_i, x_i + h]:

h³

R_0i=—ƒ″(x_i). (4.6)

24

Главный член полной погрешности для интеграла на всем интерва­ле [ x ₀ , x _n ] определится путем суммирования погрешностей на каждом частичном интервале [ x _i, x _i + h ]:

(4.7)

К последнему интегралу мы перешли, используя метод средних прямо­угольников для функции f"(x).

Формула (4.7) представляет собой теоретическую оценку погреш­ности вычисления интеграла методом средних прямоугольников, эта оценка является априорной, так как не требует знания значения вычис­ляемого интеграла. Оценка (4.7) не удобна для практического вычис­ления погрешности, но полезна для установления структуры главного члена погрешности. Степень шага h, которой пропорциональна вели­чина R₀, называется порядком метода интегрирования. Метод средних прямоугольников имеет второй порядок.

Аналогично проведем априорную оценку метода левых прямоуголь­ников. Разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора около точ­ки x = x_i

 

. (4.8)

Интегрируя разложение (4.8) почленно на интервале получим

где первое слагаемое есть приближенное значение интеграла, вычис­ленное по методу левых прямоугольников, второе слагаемое является главным членом погрешности

(4.9)

На интервале главный член погрешности интегрирования получим суммированием частичных погрешностей (4.9):

Таким образом, метод левых прямоугольников имеет первый поря­док, кроме того, погрешность будет больше по сравнению с методом средних за счет интеграла от производной f'(x) и коэффициента в зна­менателе (4. 10). Обычно для большинства функций выполняется нера­венство

 

Однако, если подынтегральная функция f(x) определяется из экс­перимента в дискретном наборе узлов, то метод средних прямоуголь­ников применить нельзя из-за отсутствия значений f(x) в средних точ­ках . В этом случае для интегрирования используются другие методы Ньютона-Котеса.