Методы наивысшей алгебраической точности

Подынтегральную функцию f(x) так же, как и в методах Ньютона-Котеса, будем аппроксимировать полиномами различных степеней. Од­нако в отличие от методов Ньютона-Котеса узлы для построения ин­терполяционного полинома выберем из условия обеспечения минималь­ной погрешности интегрирования. Впервые задача построения квадра­турных формул подобного типа была решена Гауссом для интегралов

вида

(4.42)

а для интегралов

(4.43)

с произвольной весовой функцией р(х) — Кристоффелем [2].

Для того, чтобы узлы квадратурных формул не зависели от преде­лов интегрирования, линейными преобразованиями переменной х осу­ществляется переход к стандартным пределам [—1,1]:

(4.44)

где t — новая переменная.

Тогда интеграл (4.42) принимает вид

(4.45)

Квадратурная формула Гаусса-Кристоффеля для интегралов типа (4.43) при п узлах содержит 2n параметров:

(4.46)

где — весовые коэффициенты; — узлы; R — погрешность квад­ратуры.

Полином степени 2п - 1 также имеет 2n коэффициентов. Следова­тельно, можно так подобрать параметры и , чтобы формула (4.46) была точной, т.е. R = 0 для полиномов степени не выше 2п - 1 [2, 1].

Так, при п = 1 квадратура (4.46) будет точной для полиномов нуле­вой и первой степени. Этому требованию удовлетворяет метод средних прямоугольников, который является простейшим из методов Гаусса-Кристоффеля для весовой функции р{х) = 1.

В случае двух узловых точек (п = 2) квадратура будет точной для полиномов не выше третьей степени (2n—1 = 3). Пусть подынтеграль­ная функция интеграла (4.45) представима полиномом с коэффициен­тами

(4.47)

 

Тогда интеграл от полинома принимает значение

 

(4.48)

 

 

Интерполяционный полином Ньютона, совпадающий в узлах со значениям подынтегральной функции и , будет иметь первую степень (рис. 4.6):

 

(4.49)

где

 

 

 

 

Рис. 4.6. Метод Гаусса при n=2

 

Возьмем интеграл от полинома(4.49) и подставим в результат значения функции(4.47) в узлах t и :

(4.50)

 

 

Сравнивая первые части выражений (4.48) и (4.49), получим систему двух уравнений относительно узлов и

 

 

откуда получим

(4.51)

 

При таких узлах формула(4.46) с учетом соотношений (4.50)

Принимает вид

(4.52)

 

где

 

Узлы и являются корнями полиномов Лежандра второй степени.

Весовые коэффициенты равны единице.

С увеличением числа узлов их значениями остаются корни полиномов Лежандра степени n, а весовые коэффициенты определяются через узлы по формуле [2]:

 

В таблице 4.2 приведены значения абсцисс и весов для квадратурных формул Гаусса методов порядка n.

 

 

Таблица 4.2. Абсциссы и веса для квадратурной формулы Гаусса

n	Абсциссы	Веса

Верхняя граница погрешности квадратурной формулы гаусса оценивается выражением [2]

(4.53)

 

которое позволяет сделать вывод об эффективности метода для интегрирования функции высокой гладкости.

 

Несобственные интегралы

Известно несколько приемов вычисления разных типов несобственных интегралов [2,1]. Иногда удается заменой переменных перейти от интегралов с бесконечными пределами к интегралам с конечными пределами. Если подынтегральная функция после преобразования останется конечной на новом интервале, то для интегрирования можно использовать методы и программы, рассмотренные в предыдущих разделах. Довольно распространенным является способ образования верхнего предела интегрирования, при котором исходный несобственный интеграл разбивается на сумму двух интегралов

 

Затем оценивается аналитически, а иногда и численными методами модуль вторго интеграла, и при выполнении условия

 

в качестве приближенного значения несобственного интеграла выбирается величина интеграла в пределах [ 0,b ].

Для вычисления несобственных интегралов с бесконечными пределами применимы и квадратурные формулы Гаусса- Кристоффеля (4.46), узлы и веса которых определяются в зависимости от вида весовой функции , входящей под интеграл в форме произведения .

Так, для интегралов в пределах [ ] при узлами квадратурной формулы (4.46) являются корни многочленов Лаггера , а весовые коэффициенты определяются через интеграл [2]:

(4.54)

где n – выбранное число узлов.

Как правило, в программах используют заранее вычисленные узлы и веса квадратурных формул, задаваемых в виде констант. В справочниках [10,18] имеются достаточно подробные таблицы узлов и весов квадратурных формул Гаусса-Кристоффеля для различных видов функции p(x) и различных чисел n.

Для интегралов в пределах узлами квадратурной формулы (4.46) будут корни многочленов Эрмита , а весовые коэффициенты определяются по формуле аналогичной (4.54), где интеграл необходимо взять в бесконечных пределах.

Несобственные интегралы с конечными пределами интегрирования, но с подынтегральной функцией, обращающиеся в бесконечность в отдельных точках интервала [a,b], вычисляют методами аддитивного или мультипликативного выделения особенностей, а так же построения нестандартных квадратурных формул [2]. При аддитивном способе выделения особенности подынтегральную функцию представляют в виде суммы двух функций, где ограниченная функция, а - интегрируется аналитическими методами.. Для мультипликативного способа функция f(x) представляется в виде произведения , где ограниченна, положительная и интегрируемая на отрезке [a,b]. Тогда можно применить квадратурные формулы Гаусса-Кристоффеля, которые требуют вычисления в узлах функции , при этом рассматривается как весовая функция.