Методы Адамса-Башфорта и Адамса-Маултона

При решении задачи Коши методами Рунге-Кутта необходимо вы­числять правые части ОДУ в нескольких точках на каждом шаге. Ко­личество точек зависит от порядка используемого метода. После того, как искомая интегральная кривая у (х) определена в нескольких точках можно применить алгоритмы интерполяции и сократить количество правых частей ОДУ для получения решения в очередной точке x_n+i. Подобные методы называют многоточечными или много­шаговыми. Известно несколько типов таких методов [23, 24, 1].

Алгоритмы многоточечных методов основываются на аппроксима­ции интерполяционными полиномами либо правых частей ОДУ, либо интегральных кривых .

Рассмотрим четырехточечный вариант одного из методов перво­го типа для задачи Коши, сформулированной в виде (5.5). С помо­щью любой из схем, рассмотренных в предыдущих разделах, вычис­лим решения заданного дифференциального уравнения в точ­ках . Правая часть уравнения f(x, у) на интегральной кривой, соответствующей начальному условию, будет функцией только одного аргумента х

f(x) = f(x,y(x)),

значения которой в рассматриваемых точках обозначим .

В окрестности узлов функцию f(x) приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона (2.6):

, (5.26)

где — разделенные разности (2.10) — (2.12).

Представим искомое решение в точке в виде тейлоров­ского разложения около точки :

(5.27)

где — производные по х от правой части дифференциально­го уравнения в точке .

Дифференцируя полином (5.26), получим выражения для произ­водных

 

 

Последнее соотношение при в случае равноотстоящих узлов после подстановки в них разделенных разностей (2.10) — (2.12) при­нимает вид

(5.28)

 

Подставляя производные (5.28) в разложение (5.27), получим экс-траполяционную формулу Адамса-Башфорта [24]

(5.29)

имеющую пятый порядок локальной погрешности и четвертый — гло­бальной. Остаточный член формулы (5.29) равен [2]. Зна­чительная величина коэффициента в остаточном члене обусловлена тем, что точка лежит вне интервала расположения узлов , по зна­чениям функции f(x), в которых построен интерполяционный поли­ном. Таким образом, мы имеем дело с экстраполяцией, погрешность которой в соответствии с оценкой (2.15) всегда больше, чем при ин­терполяции.

Изменяя количество членов, учитываемых в ряде (5.27), можно по­лучить схемы Адамса-Башфорта различных порядков. Формула Адамса для переменного шага приведена в [2]. В табл. 5.1 приведены фор­мулы методов Адамса-Башфорта от первого до шестого порядка.

Таблица 5.1. Методы Адамса-Башфорта

 

Порядок	Алгоритмы	Локальная погрешность
Первый
Второй
Третий
Четвертый
Пятый	+ }
Шестой

 

Анализ табл. 5.1 показывает, что метод Адамса-Башфорта порядка k требует k начальных значений: Поэтому его называют k - шаговым.

С целью уменьшения погрешности способом, аналогичным получению формулы (5.29), по узлам строится интерполяци онная формула Адамса - Маултона

(5.30)

Последняя формула является неявной, так как искомая величина необходима для вычисления значений функции , входя­щей в правую часть. Выражение(5.30) можно рассматривать как нели­нейное уравнение относительно неизвестной величины и решать его одним из методов, описанных выше. Наиболее часто здесь использу­ется метод простых итераций, хотя в некоторых случаях оказывается более предпочтительным метод Ньютона [24]. Следует иметь в виду, что каждая итерация потребует нового вычисления правой части диф­ференциального уравнения f(x, у). Решение, определенное по экстра-поляционной формуле (5.29), обычно выбирается в качестве начально­го приближения для итерационных методов, поэтому выражение (5.29) рассматривается как формула прогноза, тогда выражение (5.30) явля­ется формулой коррекции.

Таким образом, вычисления на каждом шаге интегрирования диф­ференциального уравнения осуществляются по схеме , где этапы вычислительного процесса обозначены буквами Р — прогноз, Е — вычисление функции f(x, у), С — коррекция, т — количество итераций коррекции [9]. В [2] приводится эмпирическое правило, со­гласно которому погрешность решения убывает только до тех пор, пока , где p — порядок используемого неявного метода. Следователь­но, для метода четвертого порядка не следует выполнять более четы­рех итераций коррекции. С другой стороны, в [9] отмечается, что схе­ма является более устойчивой в смысле накопления вы­числительной погрешности по сравнению со схемой , следо­вательно, наиболее выгодной будет схема РЕСЕ. При реализации по­следней схемы на каждом шаге интегрирования осуществляется толь­ко одна коррекция.

Формулы (5.29) и (5.30) без изменения переносятся на системы ОДУ первого порядка, записанные в форме Коши.

В табл. 5.2 приведены формулы методов Адамса-Маултона от пер­вого до шестого порядка.

 

Методы Гира

Одним из методов Рунге-Кутта получим решения у\, уч. Уз задачи Коши

(5.31)

Таблица 5.2. Методы Адамса-Маултона

Порядок	Алгоритмы	Локальная погрешность
Первый
Второй
Третий
Четвертый
Пятый
Шестой

 

в точках В окрестностях узлов искомое решение у(х) приближенно замениминтерполяционным полиномом Ньютона четвертой степени, аналогичным (5.26):

(5.32)

 

где — разделенные разности первого — четвертого по­рядков.

Левую часть уравнения (5.31) приближенно найдем путем дифференцирования по х полинома (5.32):

 

(5.33)

 

Разделенные разности для равноотстоящих узлов выражаются че­рез узловые значения аппроксимируемой функции:

 

 

(5.34)

 

 

где .

Полагая в выражении для производной (5.33) значение аргумента и учитывая значения разделенных разностей (5.34), получим

(5.35)

С другой стороны, уравнение (5.31) при принимает вид

(5.36)

Приравняем правые части соотношений (5.35), (5.36) и найдем

. (5.37)

Формула (5.37) представляет собой неявную схему Гира четвертого порядка для решения задачи Коши [24, 1]. Изменяя количество узлов можно аналогичным способом получить формулы Гира как более низких, так и более высоких порядков. В табл. 5.3 приведены формулы методов Гира от первого до шестого порядка.

Неявные алгоритмы Гира наиболее эффективны для решения так называемых жестких уравнений, особенностью которых является мед­ленное изменение их решений при наличии быстро затухающих возму­щений [25, 1]. Жесткими уравнениями моделируются процессы в нели­нейных электрических цепях, и применение неявных методов уменьша­ет на несколько порядков время интегрирования по сравнению с явны­ми методами [24,26].

 

Таблица 5.3. Методы Гира

Порядок	Алгоритмы	Локальная погрешность
Первый
Второй
Третий
Четвертый	+
Пятый	+
Шестой	+

 

Для нахождения значения из уравнения (5.37) можно применить метод простых итераций, однако для реализации достоинств неявного метода в отношении выбора шага при интегрировании жестких урав­нений в [24] рекомендуется использовать метод Ньютона. Для любого из выбранных методов требуется знать начальное приближение к ис­комой величине у₄- Полагая в выражении для производной (5.33) зна­чение аргумента х = хз, будем иметь

(5.38)

Приравнивая правые части исходного уравнения (5.31) при х = хз и выражения (5.38), получим схему прогноза, с помощью которой можно найти начальное приближение для решения уравнения (5.37):

.

Библиографический список

1. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран, Паскаль. —Томск: МП "Раско", 1991. — 270с.

2. Калиткин Н.Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. —512 с.

3. Кунцман Ж. Численные методы: Пер. с фр. — М.: Наука, 1979. — 160 с.

4. Гилой В. Интерактивная машинная графика: Пер. с англ. — М.: Мир, 1981. —384 с.

5. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. — М.: Наука, 1980. — 352 с.

6. Завьялов Ю.С., Леус В.А., Скороспелое В.А. Сплайны в инже­нерной геометрии. — М.: Машиностроение, 1985. — 224 с.

7. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам: Пер. с англ. — М.: Радио и связь, 1985. — 304 с.

8. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ: Практическое pyKQ-водство: Пер. с англ. — М.: Мир, 1982. — 238 с.

9. Форсайт Дж, Моулер К- Машинные методы математических вы­числений: Пер. с англ. — М.: Мир, 1980. — 280 с.

10. Справочник по специальным функциям с формулами, графи­ками и математическими таблицами: Пер. с англ. / Под. ред. М.Абрамовица и И.Стиган. — М.: Наука, 1979. — 832 с.

11. Бут Э Д. Численные методы: Пер. с англ. — М.: ГИФМЛ, 1959. — 240 с.

12. Никифоров А.Ф., Суслов СК-, Уваров В.Б. Классические ортого­нальные полиномы дискретной переменной. — М.: Наука, 1985. — 216с.

13. Гутер Р.С., Овчинский Б.В. Элементы численного анализа и мате­матической обработки результатов опыта. 2-е изд., перераб. — М.: Наука, 1970. —432 с.

14. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпириче­ских формул — М.: Высш. шк., 1988. — 239 с.

15. Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Математическая статистика. —' М.: Высш. шк., 1984. — 248 с.

16. Мак-КракенД., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране. 2 -е изд. Пер. с англ./Под ред. Б.Н.Наймарка».— М.:Мир, 1977. —584 с.

17. Справочное пособие по приближенным методам решения задач высшей математики / Л.И.Бородич, А.И.Герасимович Н.П.Кеда, И.Н.Мелешко. — Минск: Вышэш. шк, 1986. — 189 с.

18. Крылов М.Т., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному ин­тегрированию. — М.: Наука, 1966. — 370 с.

19. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения диф­ференциальных уравнений: Пер. с англ. — М.: Наука, 1986. — 288 с.

20. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 2 2-е изд., пе-рераб. — М.: Наука, 1982. — 296 с.

21. Корн Г., Корн Т. Справочник по высшей математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1984. — 831 с.

22. Ланс Дж.Н. Численные методы для быстродейсвующих вычисли­тельных машин: Пер. с англ. — М.: ИЛ, 1962. — 208 с.

23. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. — М.: Наука, 1989. — 432 с.

24. Чуд Л.О., Лин Пен-Мин. Машинный анализ электронных схем: Алгоритмы и вычислительные методы: Пер. с англ. — М.: Энергия, 1980. —640 с.

25. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений: Пер. с англ. — М.: Мир, 1988. — 334 с.

26. Сигорский В.П., Петренко А.И. Алгоритмы анализа электронных схем — М.: Сов. радио, 1976. — 608 с.

 

 

 

Учебное издание

Павел Григорьевич Колпахчьян,

Ирина Борисовна Подберезная,

Светлана Викторовна Чамлай

 

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЗАДАЧАХ

ЭЛЕКТРОАППАРАТОСТРОЕНИЯ,

ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ

И ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТРАНСПОРТА

 

Редактор Н.А.Юшко

 

 

Темплан 2012 г. ЛР 020417 от 12.02.12 г. Повписано в печать 19.12.2012 г. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная, Печать оперативная. Печ.л. 5,35. Уч. - изд. л. 5,5. Тираж 50.

 

Южно-Российский государственный технический университет

Редакционно-издательский отдел ЮРГТУ

Адрес университета: 346428, г.Новочеркасск, ул. Просвещения 132

Центр оперативной полиграфии ЮРГТУ(НПИ) тел. 55-222. Заказ №