Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Факторизация и типовые схемы решений
В ряде случаев решение СЛАУ может быть получено достаточно легко. Рассмотрим шесть важных вариантов вида матрицы А: 1) А представляет собой матрицу перестановок . Решение осуществляется путем присваивания , кроме переменных с индексами i и . 2) А является ортогональной матрицей, обозначенной через Q. Поскольку Q-1 = = QT, то решение QX = В сводится к формированию QTB; так как Q часто имеет вид элементарных ортогональных преобразований (вращения, отражения), то алгоритм решения строится простым и достаточно эффективным способом. 3) А есть невырожденная диагональная матрица D, i = 1,2,...,0, . Решением DX — В является . Матрицу D обычно хранят в виде вектора, не запоминают нулевые внедиагональные элементы. 4) А — невырожденная блочно-диагональная матрица DВ, у которой на главной диагонали находятся обратимые блоки размера 2 x 1 или 1 х 1, а вне блоков стоят нули, например:
Решение находится решением соответствующих систем порядка 2х1 и 1х1. 5) А есть невырожденная нижняя треугольная матрица. Обозначим ее L, тогда
6) А есть невырожденная верхняя треугольная матрица, обозначаемая как U. Система UX = В решается способом обратной подстановки с использованием уравнений от n-го до 1-го для нахождения последовательно неизвестных от хп до . В большинстве случаев матрица коэффициентов при неизвестных А является матрицей общего вида, и прямое решение СЛАУ невозможно. Необходимо привести матрицу А к некоторым типовым формам. Как правило, используется прием факторизации - разложения матриц на множители. Такой прием позволяет не только получить решение СЛАУ, но также дает новые возможности для анализа математических методов, разработки эффективных алгоритмов преобразований и т.п. Способы представления матриц в виде произведения сомножителей основываются часто на разложении вида A=A(1)A(2)… A(n),, где каждое имеет специальную форму, удобную для решения. Рассмотрим систему уравнений АХ = В. Пусть матрица А представлена в факторизованной форме, тогда можно выполнить замену переменных
Y1=(A(2)… A(n))x,, а затем решить систему относительно , произвести замену переменных и решить систему вида и т.д., пока не будет получено решение системы уп-1, где очевидно X = Yn. Методы решения СЛАУ отличаются друг от друга видом множителей А(i) и способом их построения. Общий подход к решению СЛАУ может быть сформулирован также на основе теории линейных операторов. В этом случае приведение СЛАУ к типовой форме осуществляется путем действия на нее некоторого линейного оператора О (АХ = В), в результате получается преобразование СЛАУ А'Х = В', где А' = ОА, В' = ОВ — преобразованные матрица коэффициентов при неизвестных и вектор правых частей. Линейный оператор О как правило строится также в виде произведения факторизованных матриц. Преобразования в прямых методах основаны на исключении неизвестных из некоторых уравнений. Тем или иным способом осуществляется подбор множителей (делителей), на которые умножаются (делятся) строки (столбцы) матрицы А и выполняется операция вычитания, обращающая нужные элементы в ноль.
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 384; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.201.37.128 (0.019 с.) |