Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Метод Гаусса и LU — разложение
Метод Гаусса упорядоченного исключения переменных используется для приведения СЛАУ к верхней треугольной форме с последующим решением методом обратной подстановки. Оценка общего числа необходимых операций равна (2/3) п 3, где п — число уравнений. Метод Гаусса основан на разложении L1c L2c… Lkc… Ln-1,c U=A, где U — верхняя треугольная матрица; Lkc — нижние столбцовые элементарные матрицы, поддиагональные элементы k -го столбца которых находятся на k-м шаге факторизации следующим образом:
Обращение таких матриц осуществляется заменой знаков внедиа-гональных ненулевых элементов. Умножение матрицы А слева на обращает в ноль поддиагональные элементы k -го столбца матрицы А. Приведенное выше разложение может быть получено умножением матрицы А и получающихся из нее матриц на пары . Тогда , где . Таким образом, исходную СЛАУ АХ = В привели к виду
далее, последовательно умножив левую и правую части на затем на и т.д., получим систему с матрицей коэффициентов при неизвестных в верхней треугольной форме: . Решение осуществляется по следующему алгоритму: 1) Положить А(°) = А и выполнить шаги факторизации для k = 1,2,..., п - 1 в coответствии со следующими пунктами: а)для каждого шага определить элементы матрицы Lkc, которые записывают на место обращаемых в ноль элементов матрицы б)выполнить вычисление значений элементов преобразованной матрицы путем умножения на матрицу, обратную к Lkc:
в) выполнить вычисление вектора правых частей В(k) путем
2) Полученную систему решить методом обратной подстановки, учитывая, что . 3) Конец алгоритма. С целью повышения численной устойчивости реализуют алгоритм метода Гаусса с выбором главного элемента по столбцу. Для этого перед выполнением пункта 1а алгоритма необходимо найти т такое, что и переставить местами строки с номерами т и k. Данный пункт в матричной форме соответствует использованию матриц перестановок Ртk - Тогда факторизация принимает вид . Поскольку элементы матриц Lkc в данном алгоритме записывают на место обращенных в ноль элементов матрицы А, то можно решать много СЛАУ с различными правыми частями, не выполняя повторную. Учитывая свойства элементарных нижних столбцовых матриц можно, заметить, что на месте матрицы А получено ее разложение в виде произведения нижней и верхней треугольных матриц:
LU = А, где , называемого LU — разложением. Следует иметь в виду, что в результате применения алгоритма на главной диагонали матрицы А и над ней будут записаны элементы матрицы U, под диагональю — элементы матрицы L, но в силу того, что диагональные элементы заняты U, то для диагональных элементов L места нет. Однако в силу свойств нижних столбцовых элементарных матриц, на диагонали L должны находиться только единицы, для их хранения отводить место не обязательно, достаточно просто иметь в виду, что они существуют и не забывать в расчетах. Для получения LU —разложения необходимо опустить в приведенном алгоритме пункты 1в, 2. Исходная система принимает вид LUX = В и может быть решена на основе типовых подходов. Обозначим Y = — UX, решим методом прямой подстановки систему LU = В, а затем методом обратной подстановки систему UX = Y. Получим искомый вектор X. К недостаткам метода Гаусса можно отнести повышенную чувствительность к особенностям матрицы А, невозможность его использования для решения переопределенных систем, в которых число уравнений больше числа неизвестных.
|
||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 298; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.224.70.148 (0.005 с.) |