Старший разряд (с.р.) Младший разряд (м.р.)

В целой части числа показатель степени основания каждого разряда на единицу меньше, чем номер разряда, в котором записана данная цифра.

Рассмотрим числа 908,61₍₁₀₎, 175,61₍₈₎, 1101,11₍₂₎, A1F,96₍₁₆₎ (в скобках указано основание системы счисления, к которой относится заданное число) как суммы вида:

908,61₍₁₀₎ = 9х10² + 0х10¹ + 8х10⁰ + 6х10^-1 + 1х10^-2

175,61₍₈₎ = 1х8² + 7х8¹ +5х8⁰ +6х8^-1 + 1х8^-2.

1101,11₍₂₎ = 1х2³ + 1х2² + 0х2¹ +1х2⁰ +1х2^-1 + 1х2^-2.

A1F,96₍₁₆₎ = (10)х16² + 1х16¹ + (15)х16⁰ + 9х16^-1 + 6х16^-2.

Заметим, что любое число, умноженное на нуль, дает нуль, а любое число, возведенное в степень нуля, равно 1. Например, 0х10¹ = 0; 10⁰ = 1.

В современных ЭВМ для кодирования чисел используются позиционные системы счисления: десятичная, восьмеричная, двоичная, шестнадцатеричная, а также с двоично-кодированными десятичными числами.

Таблица 1.1.

Двоично-кодированная десятичная система

Десятичная цифра
Двоично-десятичное изображение

Продолжение табл. 1.1

Шестнадцатиричная цифра	A	B	C	D	E	F
Двоично-десятичное изображение

Двоично-кодированная десятичная система (ДКДС) является вспомогательной. В этой системе каждая десятичная цифра представляется двоичным эквивалентом, т.е. десятичные числа кодируются четырехразрядным двоичным числом - тетрадой (табл. 1.1).

Таблица1.2

Числа в системах счисления

Десятичная	Двоичная	Вось-миричная	Шестнадцатеричная	Двоично-кодированная десятичная	Десятичная	Двоичная	Восьмеричная	Шестнадцатеричная	Двоично-кодированная десятичная
			0А 0В 0С					OD OE OF

Например, символ шестнадцатеричной системы счисления D равен числу 13 в десятичной системе счисления. Единица старшего разряда представляется тетрадой 0001, а тройка младшего разряда – тетрадой 0011. Таким образом, запись двоично-кодированного числа равна 00010011_(2/10).

Представление чисел в различных системах счисления допускает однозначное преобразование их из одной системы в другую. В ЭВМ перевод из одной системы в другую осуществляется автоматически по определенным правилам. Правила пере­вода целых и дробных чисел отличаются.

Правило 1. Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием N надо переводимое число последовательно делить на это основание N новой системы счисления, (в которую это число переводится), до тех пор, пока не будет получено частное, меньшее основания N. Число в новой системе счисления запишется цифрами новой системы счисления в виде остатков от деления в порядке обратном, полученному при делении, начиная с последнего частного, представляющего собой старшую цифру числа.

Пример 1.1. Перевести Пример 1.2. Перевести Пример 1.3. Перевести

число 54₍₁₀₎ в двоичную число 348₍₁₀₎ в восьме- число 875₍₁₀₎ в шестнад-

систему счисления. ричную систему счисл. цатеричную сист.счисл

Решение. Решение. Решение.

_54 2 _348 8 _875 16

54 _27 2 344 _43 8 864 _54 16

0 26 _13 2 4 40 5 11 48 3

1 12 _6 2 3 5

1 6 _3 2

0 2 1 11₍₁₀₎ = B₍₁₆₎

1

т.е. 54₍₁₀₎=110110_(2). т.е. 348₍₁₀₎=534₍₈₎. т.е. 875₍₁₀₎=35В₍₁₆₎.

 

Правило 2. Для перевода правильных десятичных дробей в систему счисления с основанием N умножают исходную дробь последовательно на основание новой системы счисления N (целые части дроби в процедуре умножения не участвуют). Полученные в результате умножения целые части произведения, записанные цифрами новой системы счисления, являются соответствующими разрядами дробного числа в новой системе счисления с основанием N. Число умножений определяет разрядность полученного результата, представляю­щего исходную правильную дробь в системе счисления N.

 

 

Пример 1.4. Перевести Пример 1.5. Перевести Пример 1.6. Перевести

число 0,725₍₁₀₎ в двоичную число 0,873₍₁₀₎ в восьме- число 0,27₍₁₀₎ в шестна-

систему счисления. ричную систему счисления дцатеричную систему счисления

Решение. Решение. Решение.

0, 725 0, 837 0, 27

х 2 x 8 x 16

1, 450 6, 696 4, 32

х 2 x 8 x 16

0, 90 5, 568 5, 12

х 2 x 8 x 16

1, 8 4, 548 1, 92

х 16

14,72

т.е. 0,725₍₁₀₎ = 0,101 ₍₂₎ т.е. 0,873₍₁₀₎ = 0,654 ₍₈₎ т.е. 0,27₍₁₀₎ = 0.451Е ₍₁₆₎

 

Перевод неправильных десятичных дробей в систему счисления с основанием N выполняется отдельно для целой и дробной частей числа по вышеизложенным правилам. Затем эти части соединяются в одну запись - неправильную дробь, представленную уже в новой системе счисления.

Правило 3. Перевод числа из любой системы счисления в десятичную осуществляется представлением этого числа в развернутом виде, а именно - суммы степеней основания, умноженных на цифры переводимого числа, т.е. в виде полинома. При этом все арифметические действия осуществляются в десятичной системе счисления, а цифры переводимого числа считаются десятичными.

В качестве примеров воспользуемся числами 175,61_(8), 1101,11_(2), A1F,96_(16).

Пример 1.7. 175,61₍₈₎ = 1х8² + 7х8¹ +5х8⁰ +6х8^-1 + 1х8^-2 =

= 64 + 56 + 5 + 0,75 + 0,015625 = 12,765625₍₁₀₎;

Пример 1.8. 1101,11₍₂₎ = 1х2³ + 1х2² + 0х2¹ +1х2⁰ +1х2^-1 + 1х2^-2 =

= 8 + 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0,25 = 13,75₍₁₀₎;

Пример 1.9. A1F,96₍₁₆₎ = Ах16² + 1х16¹ + Fх16⁰ + 9х16^-1 + 6х16^-2 =

= 2560 + 16 + 1 + 0,625 + 0,0234375 = 2591,6484₍₁₀₎.

Частные правила перевода

 

Так как двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы связаны через степени числа 2, то преобразования между ними можно выполнять дру­гим более простым способом. Для перевода из шестнадцатеричной (восьме­ричной) системы счисления в двоичную достаточно двоичным кодом запи­сать шестнадцатеричные символы тетрадами (по 4 двоичных разряда) и триадами (по 3 двоичных разряда) - для восьмеричных символов. Обратный пе­ревод из двоичного кода производится в обратном порядке: двоичное число разбивается влево и вправо от границы целой и дробной частей на тетрады - для последующей записи символов в шестнадцатеричном представлении, на три­ады - для записи их значений восьмеричными символами.

Пример 1.10. Перевести число 67532.107₍₈₎ в двоичную систему счисления.

Решение. Заменить каждый символ трехзначным двоичным кодом:

6 7 5 3 2. 1 0 7

110 111 101 011 010 001 000 111

т.е. 67532.107₍₈₎ = 110111101011010.001000111₍₂₎.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную осуществляется заменой каждой триады одноразрядным символом восьмеричной системы счисления (причем, триады формируются влево и вправо от точки). При смешанных числах (неправильная дробь) триады слева и справа дополняются нулями в случае, если не хватает цифр до полной триады.

Пример 1.11. Перевести число 10111011101. 1101₍₂₎ в восьмеричную систему счисления.

Решение. Заменить каждую триаду восьмеричным числом:

010 111 011 101. 110 100

2 7 3 5. 6 4

т.е. 10111011101. 1101₍₂₎ = 2735. 64₍₈₎.

Для перевода неправильной дроби из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную каждый шестнадцатеричный символ заменяют его двоичным эквивалентом, т.е. четырьмя двоичными символами (тетрадой).

 

Пример 1.12. Перевести число 35В,451Е₍₁₆₎ в двоичную систему счисления.

Решение. Заменить каждый шестнадцатеричный символ двоичной тетрадой:

3 5 В. 4 5 1 Е

0011 0101 1011, 0100 0101 0001 1110

т.е.. 35В.451Е₍₁₆₎ = 001101011011.0100010100011110₍₂₎.

Перевод неправильной дроби из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную осуществляется по тем же правилам, что и перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную, с той только разницей, что число в двоичной системе счисления разбивается на тетрады влево и вправо от запятой и каждая тетрада заменяется символом шестнадцатеричной системы счисления.