Пз №3. Решение задач по синтезу логических схем

Цель занятия:

- приобрести практические навыки в решении задач по анализу и синтезу простейших логических схем комбинационного типа.

- приобрести практические навыки исследования логики работы логических элементов.

Учебные вопросы:

1. Составление таблиц истинности для заданных функций.

2. Изучение логики функционирования типовых элементов

при реализации заданных функций.

3. Типовая методика синтеза комбинационных схем.

4. Типовая методика анализа комбинационных схем.

 

Методические рекомендации:

 

При подготовке к занятию проработать материалы лекции «Логические основы ЭВМ».

В ходе занятия обратить внимание на глубокое усвоение взаимной связи между описанием логической функции и структурой связей между элементами логической схемы, а также на последовательность выполнения этапов синтеза и анализа комбинационных схем.

 

Целесообразно организовать занятие по схеме «ПОКАЗ - САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА». При показе преподаватель демонстрирует решение задачи либо на доске, либо, используя средства ТСО. После этого обучаемые отрабатывают практические навыки по индивидуальным заданиям.

 

Контроль степени усвоения и оценку за занятие рекомендуется выставлять в результате проведения контрольной работы с учетом работы на занятии.

 

Краткие теоретические сведения.

 

Основные понятия алгебры логики. Логические функции, способы их представления.

Для структурно-функционального описания логических схем, составляющих основу любого дискретного вычислительного устройства, ЭВМ или ВС в целом, используется аппарат булевой алгебры, ­созданной в 1854 г. Дж. Булем как попытка изучения логики мышления математическими методами. Впервые практическое применение булевой алгебры было сделано К. Шенноном в 1938 г. для анализа и разработки релейных переключательных сетей, результатом чего явилась разработка метода представления любой сети, состоящей из совокупности переключателей и реле, математическими выражениями и принципов их преобразования на основе правил булевой алгебры. Ввиду наличия аналогий между релейными и современными электронными схемами аппарат булевой алгебры нашел широкое применение для анализа, описания и проектирования последних. Использование булевой алгебры позволяет не только более удобно оперировать с булевыми выражениями (описывающими те или иные электронные узлы), чем со схемами или логическими диаграммами, но и на формальном уровне путем эквивалентных преобразований и базовых теорем упрощать их, давая возможность создавать экономически и технически более совершенные электронные устройства любого назначения. Наряду с этим одним из применений ЭВМ и микропроцессоров является замена аппаратной логики на программную, поэтому операции булевой алгебры часто встречаются и в ПО микро-ЭВМ. Утилитарная значимость аппарата булевой алгебры и описываемых им логических схем заключается также и в наличии ряда методик автоматизированного обнаружения структурных ошибок ПО на основе конечно-автоматного подхода, базирующегося на указанном аппарате. Являясь основным средством анализа, разработки и описания структурно-функциональной архитектуры современной ВТ, булева алгебра является обязательной составной частью целого ряда разделов вычислительных наук.

В общем случае любая формальная математическая система состоит из трех множеств: элементов, операций над ними и аксиом. Схемы вычислительных устройств можно условно разделить на три группы: исполнительные, информационные и управляющие. П ервые производят обработку информации, представленной в бинарной форме вторые служат для передачи бинарной формы информации третьи выполняют управляющие функции, генерируя соответствующие сигналы.

Во всех случаях, как правило, в тех или иных точках логических схем появляются сигналы двух различных уровней. ­Следовательно, сигналы могут представляться бинарными символами {0, 1} или логическимизначениями { Истина (True), Ложь (False) }.

Поэтому, ­множество элементов B={0, 1} булевой алгебры выбирается бинарным; такая ­алгебра ­называется бинарной или переключательной. Ее элементы называются константами, или логическими 0 и 1; в ряде случаев логическим 0 и 1 соответствуют бинарные цифры, в других случаях им соответствуют логические значения соответственно Ложь(False) и Истина(True).

Для структурно-функционального описания логических схем ее узлам ставятся в соответствие булевыпеременные, принимающие логические значения 0 и 1; для обозначения булевых переменных используется латинский алфавит. Определив множество элементов булевой алгебры, необходимо задать для нее множества операций и постулатов (аксиом).

Алгебру логики применяют при анализе и синтезе структур ЭВМ и ВС, оценке эффективности функционирования средств вычислительной техники, вычислении показателей надежности, живучести структур и в ряде других случаев. Она является одним из разделов математической логики и исследует высказывания, а также связи между ними.

Под высказыванием будем понимать всякое предложение, принимающее два значения - истинно или ложно. Значение истинности будем обозначать как TRUE или цифрой «1», ложное значение соответственно FALSE или цифрой «0». Высказывание - «Москва - столица России» является истинным, а высказывание - «Енисей - река в Европе» - ложным. Высказывание бывают простыми и сложными. Исходные (простейшие) высказывания будем называть простыми, а образованные из них другие высказывания - сложными.

Будем обозначать высказывания переменными х_1,х₂,...;у_1,у₂,... Сложные высказывания образуются из простых высказываний путем объединения их связками «И», «ИЛИ», «Если...,ТО», «НЕ» и др. Данным связкам в математической логике присвоено название логических операций.

Существует несколько булевых операций, из которых только три: И (AND), ИЛИ (OR) и НЕ (NOT) — полагаются базовыми, остальные можно получать на их основе. Операция И называется логическим умножением или конъюнкцией, операция ИЛИ называется логическим сложением или дизъюнкцией, операция НЕ называется логическим отрицанием или инверсией (дополнением).

Обозначаются логические операции знаками:

«И» - &, Ù;

«ИЛИ» - Ú, +;

«НЕ» - ù, -;

«Если..., ТО» - ®.

Одним из способов представления комбинационной схемы является задание ее логической F-функции посредством булева выражения, состоящего из булевых констант и переменных, соединенных знаками операций И,ИЛИ, НЕ и, возможно, скобками. Для уменьшения количества используемых скобок предполагается, что логическая И - операция имеет приоритет выше, чем ИЛИ - операция.

Приведем в качестве примера одно из сложных высказываний: «Если ЭВМ будет исправна и выделено время на решение задачи, то будет получен результат».

Обозначим переменными следующие высказывания:

х₁ - ЭВМ будет исправна;

х_{2 -} выделено время на решение задачи;

у - будет получен результат.

Используя приведенные обозначения логических операций, запишем сложное высказывание в виде:

(х₁ Ù х₂ ) ® у.

Вопрос: как можно прочитать следующее сложное высказывание применительно к предыдущему примеру.

Рассмотрим сложное высказывание, известное из электротехники. Оно образовано из двух простых высказываний: «Ток в цепи нагрузки появляется при замкнутых контактах 1 и 2».

+° °-

1 2 R

 

Обозначим: х₁ - замкнут контакт 1; х₂ - замкнут контакт 2; у - наличие тока в цепи.

Рассмотрим все варианты и составим таблицу.

Таблица 3.1.

х1	х2	у

Из примера видно, что используемые высказывания принимают только два значения (истинно или ложно), значение высказывания у зависит от значений других высказываний и принимает тоже только два значения.

Высказывание, принимающее одно из двух значений и зависящее от других высказываний, называют функцией алгебры логики (ФАЛ).

ФАЛ может обозначаться у, f, F.

У = х₁ & х₂.

Логическая связка, соответствующая союзу «И», называется конъюнкцией.

Таблицы, показывающие зависимость значения функции от значений аргументов, называются таблицами истинности ( таблицами соответствия).

Таблица 3.2.

Переменные	Функция
х1	х2	F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15
		0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

В алгебре логики наиболее часто распространены следующие логические функции:

конъюнкция - F₁ = х₁ & х₂; _____

отрицание конъюнкции - F₁₄ = х₁ & х₂;

дизъюнкция - F₇ = х₁ Ú х₂; _____

отрицание дизъюнкции (стрелка Пирса)- F₈ = х₁ Ú х₂;

инверсия Х₁ - F₁₁ = х_1;

инверсия Х₂ - F₁₀ = х₂;

равнозначность - F₉ = х_{1 »} х₂;

отрицание равнозначности - F₆ = х₁ Å х₂ (сложение по модулю 2);

импликация - F₁₃ = х₁ ® х₂.