Операции над объемами понятий (классами)

 

Объем понятия в логике называют также классом или множеством.

Класс (множество) – это набор объектов, обладающих общими признаками.

Объекты, принадлежащие множеству, называются элементами.

Например, элементами множества студентов первого курса будут конкретные первокурсники Сидоров, Петров, Иванов и т.д.

Если множество не содержит ни одного элемента (например, ночная радуга), оно называется пустым и обозначается Æ.

Если множество состоит из всех элементов исследуемой области, то его обычно называют универсальным множеством и обозначают U.

Например, если мы рассуждаем только о волейболистах, то универсальным множеством будет множество всех волейболистов, а если речь идет о спортсменах, то в этом случае универсальным множеством будет являться множество всех спортсменов.

 

При таком чисто количественном подходе к понятиям оказывается возможным производить над ними следующие логические операции:

1) объединение (сложение) классов;

2) пересечение (умножение) классов;

3) образование дополнения к классу (отрицание класса).

 

В операциях с классами используются следующие обозначения:

А, В, С, … – произвольные классы

U – универсальный класс

Æ – нулевой (пустой) класс

È – знак объединения

Ç – знак пересечения

– дополнение к классу

Графически операции над объемами понятий изображаются с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Универсальное множество представляется в виде квадрата, классы – в виде кругов. Результат логической операции заштриховывается.

Объединением двух классов А и В называется новый класс АÈВ (читается А “чашка” В), который включает все элементы объединяемых классов А и В (рис. 4). Так, объединив класс городских жителей РФ (А) с классом сельских жителей РФ (В), мы получим в результате класс всех жителей страны (АÈВ).

АÈВ АÈВ ÈС

		А В С

А

С

В

 

 

Рис. 4

 

При пересечении двух классов А и В образуется новый класс АÇВ (читается: А “крышка” В), предметы которого обладают признаками двух первоначальных классов А и В. Так, результатом пересечения классов дворников (А) и студентов (В) будет класс студентов, работающих дворниками (АÇВ).

Графически операция пересечения изображается аналогично операции объединения (рис. 5).

 

А В     С

АÇВ АÇВ ÇС

 

А

В

 

 

Рис. 5

 

Дополнением класса А называется множество всех элементов, не принадлежащих классу А. Дополнение обычно обозначается как . Дополнение к классу – это, как правило, класс, полученный путем отрицания. Например, если А - это множество спортсменов, то - это люди, не занимающиеся спортом, то есть не спортсмены.

Наглядно операция дополнения изображается на диаграмме Эйлера - Венна достаточно просто (рис. 6).

 

 

 

__ ____ ____

А АÈВ АÇВ

Рис.6

 

Объединение классов А и в результате дает универсальный класс U. Так, объединив спортсменов и не спортсменов, мы получили бы универсальный класс людей вообще. Поэтому и называется операция дополнением, ибо класс А дополняет класс до исчерпывающего универсального множества U:

АÈ = U.

Классы и А по определению являются непересекающимися, то есть множество элементов, принадлежащих одновременно А и , пусто:

АÇ = Æ.

Дополнение универсального множества также пусто:

= Æ.

Дополнение пустого множества есть универсальное множество:

 

= U.