Логический анализ сложных суждений

Современная символическая (математическая) логика для анализа сложных высказываний и рассуждений использует процедуру формализации. Логическая формализация – это своеобразный перевод с обычного естественного языка на искусственный язык символов логики, в результате которого сложное суждение символически представляется в виде логической формулы. Простейшим искусственным языком, который используется в логике, является язык логики высказываний.

Алфавит языка логики высказываний содержит следующие три категории знаков:

1. Пропозициональные переменные (от лат. propositio – высказывание, предложение) – буквенные символы, обозначающие простые суждения, внутреннее строение которых мы игнорируем. В качестве пропозициональных переменных обычно используются строчные буквы середины латинского алфавита: p, q, r, s, t, p₁, q₁, r₁, s₁, t₁,... (нижние индексы позволяют получить большее число символов) или заглавные буквы начала латинского алфавита A, B, C, D,....

Одна и та же буква обозначает одно и то же простое суждение, различные буквы – разные.

2. 6 особых символов для обозначения логических связок («Ù» – конъюнкция, «Ú» – слабая дизъюнкция, «Ú» – сильная дизъюнкция, «®» – импликация, ««» – эквиваленция, «» - отрицание).

3. Скобки, которые используются для группировки суждений и указания последовательности операций.

Процесс формализации можно разбить на несколько этапов:

1. Прежде всего, необходимо выделить все простые суждения.

2. Выделить логические связки, выраженные, как правило, союзами и знаками препинания.

3. Установить порядок и способ сочленения простых высказываний в сложное.

4. Представить сложное суждение в виде логической формулы на языке логики высказываний.

 

Поясним, как осуществляется процедура формализации на конкретных примерах.

Выразим на языке логики высказываний формулу сложного суждения «“Спартак” выиграл у “Динамо” 2:1; “Торпедо сыграло вничью с “Зенитом” 1:1; встреча “Кубани” с “Металлистом” перенесена по техническим причинам”».

Перед нами, конечно, трехчленная конъюнкция. Если обозначить каждое элементарное высказывание соответственно: p, q и r, то данный текст может быть представлен следующей логической формулой: pÙq Ù r.

 

Еще один пример:

«Если команда “Спартак” выиграет следующую игру, а “Зенит” сыграет вничью или потерпит поражение, и “Торпедо” потерпит поражение, то “Спартак” выходит в финал. Но “Торпедо” одержало победу. Следовательно, команда “Спартак” в финал не вышла».

Сначала выделим простые высказывания, входящие в состав сложного (в нашем примере их семь) и введем буквенные обозначения:

(1) Команда “Спартак” выиграет следующую игру (р).

(2) “Зенит” сыграет вничью (q).

(3) “Зенит” потерпит поражение (r).

(4) “Торпедо” потерпит поражение (s).

(5) “Спартак” выходит в финал (t).

(6) “Торпедо” одержало победу ().

(7) Команда “Спартак” в финал не вышла ().

Далее выделим логические связки, с помощью которых простые высказывания соединяются в сложные: «если… то», «а», «или», «и», «но», «следовательно», «не».

Теперь необходимо выяснить, какой смысл выражает каждая логическая связка. В нашем случае союзу «если… то» по смыслу соответствует импликация (®); союзу «а» – конъюнкция (Ù); союзу «или» – строгая дизъюнкция, так как обе части высказываний соединены союзом “или” в разделительном смысле (либо ничья, либо поражение) (Ú); союзу «но» соответствует конъюнкция (Ù), «следовательно» – импликация (®), «не» – отрицание ().

Наконец, необходимо установить порядок сочленения простых высказываний и расставить скобки. Приведенное умозаключение состоит из одного сложного и двух простых высказываний. Сложное высказывание представляет собой импликацию, в которой основанием является трехчленная конъюнкция p, строгой дизъюнкции (q Ú r) и s. Заключением является t. Поэтому логическая формула, соответствующая первому сложному высказыванию в составе исходного имеет вид:

(pÙ(q Ú r) Ù s)®t.

Далее следуют еще два простых высказывания. «“Торпедо” одержало победу» () и «Команда “Спартак” в финал не вышла» (). Причем, последнее начинается со “следовательно”, то есть является заключением из конъюнкции двух первых высказываний. Стало быть, данное рассуждение есть импликация:

((pÙ(q Ú r) Ù s)®t)Ù )® .

 

В естественном языке простые высказывания могут сочленяться с помощью таких связок, которым не соответствует по смыслу никакой логический союз из формализованного языка логики высказываний. В этом случае необходимо переформулировать сложное высказывание таким образом, чтобы оно выражало то же самое утверждение, но содержало при этом такие союзы, которым соответствуют по смыслу какие-либо логические связки из алфавита. Примером является высказывание

«Ни белые, ни красные не победили в гражданской войне».

Не изменяя содержания этого высказывания, его можно переформулировать так: «Неверно, что белые победили в гражданской войне, и неверно, что красные победили в гражданской войне». Логическая форма данного высказывания имеет вид:

Ù .

§ 7. Табличный способ определения формул логики

Условия истинности сложных суждений, состоящих из простых категорических суждений, основываются на абстракции двузначности. Абстракция двузначности постулирует, что любое суждение может быть либо истинным, либо ложным; третьего не дано. Истинность или ложность называется логическим значением суждения. Истинным считается суждение, в котором связка устанавливает отношения признака и предмета верно («2+2=4», «Кит – млекопитающее»). Если это отношение не соответствует действительности, то такое суждение считается ложным («2+2=5», «Кит – рыба»).

Логики, где принята эта абстракция, называются классическими, двухзначными, или бивалентными.

В реальной жизни есть суждения, которые имеют более двух логических значений. Например, суждение «За окном идет дождь» может принять одно из двух логических значений – истина или ложь. Для суждения «Завтра будет дождь» возможны три значения – истина, ложь и неопределенность. Поэтому неклассическая логика допускает три (истинно, ложно и неопределенно) и более значений истинности.

Мы ограничимся двухзначной логикой и будем обозначать истинное высказывание символом «И» или «1», ложное – «Л» или «0».

 

Тогда все формулы логики высказываний можно разделить на три класса:

1) нейтральные (разрешимые) – высказывания, значения которых зависят от значения переменных и могут быть как истинными, так и ложными.

2) всегда-истинные (тождественно-истинные, тавтологии) (обозначаются буквой И) – высказывания, которые при любых значениях переменных принимают только значение «истина»;

3) всегда-ложные (тождественно-ложные, противоречия) (обозначаются буквой Л) – высказывания, которые при любых значениях переменных принимают значение «ложь».

Тавтологию и тождественно-ложное высказывание называют также логическими константами, ибо их логическое значение постоянно: И или Л. Принципиально важным здесь является то обстоятельство, что логические значения тавтологий (равно как тождественно-логических формул) не зависят от значений логических переменных, а определяются исключительно логической структурой высказываний.

В соответствии с тремя типами формул говорят о трех видах сложных суждений: всегда истинные, всегда ложные и нейтральные. Тождественно-истинные формулы соответствуют логически корректным суждениям. Тождественно-ложные – выражают логические противоречия.

 

Одним из способов определения истинностного значения формул логики является табличный.

Построение таблицы истинности для анализа конкретной формулы имеет следующие этапы:

1. Определить число переменных.

2. Определить количество строк (N) в таблице. Это число найти с помощью формулы N=2ⁿ, в которой n – количество переменных в данном высказывании.

3. Перечислить в таблице все возможные и неповторяющиеся сочетания значений истинности всех переменных. Принцип перебора этих значений: в строках под первой переменной чередуются значения И и Л, под второй переменной чередуется последовательность двух значений И и двух Л, под третьей – четырех И и четырех Л и т.д. (для каждой последующей переменной количество чередующихся значений И и Л будет удваиваться).

4. Подчиняясь установленным в математике свойствам технических знаков (скобок), выделить в составе формулы все подформулы (начиная от элементарных и кончая самой формулой).

5. Последовательно установить значение истинности каждой из составных частей высказывания при каждом наборе переменных, т.е. в каждой строчке.

6. Выяснить, к какому виду принадлежит анализируемое высказывание в целом.

Определим в качестве примера табличным способом значение формулы ((p®q)Ù p) ® q.

Число переменных в ней – 2. Значит, количество строк в таблице – 4. Составим таблицу истинности для этой формулы, разбив ее на подформулы, и последовательно установим значение истинности каждой из составных частей высказывания:

 

 

p	q	p®q	(p®q)Ùp	((p®q)Ùp) ®q
И	И	И	И	И
Л	И	И	Л	И
И	Л	Л	Л	И
Л	Л	И	Л	И

 

Оказывается, полученная формула принимает значение “истина” при любых наборах значений входящих в нее переменных, т.е. является тождественно-истинной, или тавтологией.

 

Для сокращения процедуры вместо того, чтобы выписывать отдельно каждую подформулу, можно подписывать ее значения под знаком последней операции в ее построении (этот знак называется главным знаком подформулы). Значение всей формулы указывается в столбце под знаком импликации (®), который является знаком последней операции в построении всей формулы, т.е. главным знаком этой формулы.

((p® q) Ù p) ®q

И И И И

И Л Л И

Л Л И И

И Л Л И

Построим теперь таблицу истинности для формулы (pÚ(qÙr))Ù(p®(qÙr)), которая содержит три переменных.

Число строк в таблице будет равно 2³, то есть восьми.

p	q	r	qÙr	pÚ (qÙr)	p®(qÙr)	(pÚ(qÙr))Ù(p®(qÙr))
И	И	И	И	И	И	И
Л	И	И	И	И	И	И
И	Л	И	Л	И	Л	Л
Л	Л	И	Л	Л	И	Л
И	И	Л	Л	И	Л	Л
Л	И	Л	Л	Л	И	Л
И	Л	Л	Л	И	Л	Л
Л	Л	Л	Л	Л	И	Л

 

Из таблицы следует, что приведенная формула принимает при одних наборах значений логических переменных значение “истина”, а при других – значение “ложь", то есть является нейтральной.

 

Табличное определение логических формул, вместе с тем, не является достаточно эффективным для определения того, к какому из трех классов принадлежит логическая формула. Дело в том, что при большом числе переменных процесс построения таблицы оказывается практически сложным делом, так как при n переменных число строк в таблице 2ⁿ. Значит, чтобы определить, например, является ли тавтологией формула ((p Ù (q Ú r) Ù s)® t) Ù )® , необходимо составить таблицу из 32 строк. Поэтому для разрешения этой проблемы пользуются иными средствами, опирающимися на законы логики высказываний.

Равносильность суждений

В логике очень часто встречаются высказывания, которые принимают одинаковые логические значения при одних и тех же значениях составляющих. Такие высказывания называются равносильными (эквивалентными).

Понятно, что все тождественно-истинные формулы (равно как и тождественно-ложные) равносильны друг другу. Поэтому проблема установления равносильности суждений существует только для нейтральных формул.

 

В качестве примера установим, равносильны ли суждения:

1. “На улице темно и сыро”;

2. “Неверно, что на улице не темно или не сыро”.

Для этого сначала формализуем их: 1. pÙq; 2. .

Составим таблицу истинности:

 

p	q			pÙq	Ú
И	И	Л	Л	И	Л	И
Л	И	И	Л	Л	И	Л
И	Л	Л	И	Л	И	Л
Л	Л	И	И	Л	И	Л

 

Очевидно, что одинаковым наборам логических значений переменных p и q соответствуют одинаковые логические значения формул, следовательно, данные высказывания (и выражающие их формулы) равносильны.

При определении равносильности обычно пользуются сокращенными таблицами: pÙq =

И Л И Л

Л И Л Л

Л Л Л И

Л И Л И

Равносильность формул обозначается обычным знаком равенства, pÙq= . Неравносильность – перечеркнутым знаком равенства (≠).

Так, результаты о тождественной истинности формулы pÚ и тождественной ложности формулы pÙ можно записать следующим образом:

pÚ =И

pÙ =Л.

 

Наличие равносильных формул позволяет заменять одни логические формулы другими, равносильными данным, то есть производить эквивалентные преобразования, заменяя, как в математике, равное равным. Это обстоятельство оказывается чрезвычайно важным, ибо, установив равносильность некоторых формул логики с помощью таблиц истинности, можно в дальнейшем к ним не обращаться, используя соответствующие эквивалентные преобразования (равную замену).

 

Например, импликация p ® q равносильна дизъюнкции Úq:

p	q		Úq	p ® q
И	И	Л	И	И
Л	И	И	И	И
И	Л	Л	Л	Л
Л	Л	И	И	И

 

Эквиваленция p«q равносильна конъюнкции импликаций (p ® q)Ù(q ® p):

 

p	q	p®q	q®p	(p ® q)Ù(q ® p)	p«q
И	И	И	И	И	И
Л	И	И	Л	Л	Л
И	Л	Л	И	Л	Л
Л	Л	И	И	И	И

Учитывая предыдущий результат о том, что импликация равносильна дизъюнкции (p®q = Úq), можно полученную равносильность записать следующим образом: p«q= (p ® q)Ù(q ® p)=( Úq)Ù( Úp).

 

Строгая дизъюнкция p Ú q эквивалентна формуле (pÚq)Ù( Ú ):

 

p	q			p Úq	Ú	(pÚq)Ù( Ú )	p Ú q
И	И	Л	Л	И	Л	Л	Л
Л	И	И	Л	И	И	И	И
И	Л	Л	И	И	И	И	И
Л	Л	И	И	Л	И	Л	Л

 

Законы логики высказываний

Закон логики – это формула, принимающая значение «истина» при любых значениях входящих в нее пропозициональных переменных. Приведем наиболее важные законы, используя отношение эквивалентности, т.е. как соответствующие равносильности.

 

1. Законы выражения одних логических союзов через другие:

 

а) закон удаления знака импликации:

p®q = Úq (1)

 

б) законы удаления знака эквиваленции:

p«q = (p®q)Ù (q®p) (2)

p«q = (pÙq)Ú ( Ù ) (3)

p«q= (pÚ )Ù ( Úq) (4)

 

в) законы удаления знака строгой дизъюнкции:

p Ú q = (pÙ )Ú( Ùq) (5)

p Ú q = (pÚq)Ù( Ú ) (6)

 

г) закон выражения эквиваленции через строгую дизъюнкцию:

p«q = (7)

 

д) закон выражения строгой дизъюнкции через эквиваленцию:

p Ú q = (8)

 

2. Закон противоречия:

pÙ = Л (9)

Высказывание p и его отрицание одновременно никогда не выполняются. Нельзя что-то утверждать и отвергать одновременно.

Например, высказывания «У Земли есть спутник» и «У Земли нет спутника» не могут одновременно быть истинными.

3. Закон исключения третьего:

pÚ = И (10)

Хотя бы одно из высказываний p или всегда истинно; третьего не дано.

Например, одно из противоречащих друг другу суждений «Сейчас идет дождь», «Сейчас нет дождя» должно быть непременно истинным.

4. Законы исключения логических констант:

pÙИ = p (11)

pÚЛ = p (12)

Конъюнктивное присоединение логической константы И (тождественно-истинного высказывания) к нейтральному высказыванию p ничего не меняет; дизъюнктивное присоединение константы Л (тождественно-ложного высказывания) к нейтральному высказыванию p также ничего не меняет.

 

5. Законы исключения логических переменных:

pÚИ = И (13)

pÙЛ = Л (14)

Дизъюнктивное присоединение константы И делает всю дизъюнкцию истинной; конъюнктивное присоединение константы Л делает всю конъюнкцию ложной.

 

6. Законы идемпотентности:

pÙpÙpÙ… = p (15)

pÚpÚpÚ…= p (16)

Конъюнкция (дизъюнкция) высказывания с самим собой дает то же самое высказывание.

Законы идемпотентности свидетельствуют об отсутствии в логике высказываний показателей степеней (15) и коэффициентов (16).

 

7. Законы коммутативности (перестановки):

pÙq = qÙp (17)

pÚq = qÚp (18)

Порядок, в котором осуществляются операции конъюнкции или дизъюнкции, не влияет на логическое значение формулы.

Например, высказывание “Я учусь в институте и (или) занимаюсь спортом” равносильно высказыванию “Я занимаюсь спортом и (или) учусь в институте”.

 

8. Законы ассоциативности (группировки):

pÙ(qÙr) = (pÙq)Ùr = pÙqÙr (19)

pÚ(qÚr) = (pÚq)Úr = pÚqÚr (20)

Если в формуле стоят одинаковые знаки конъюнкции (дизъюнкции), то скобки можно ставить произвольно или вовсе опускать.

 

9. Законы дистрибутивности (распределения):

pÙ(qÚr) = (pÙq)Ú(pÙr) (21)

pÚ(qÙr) = (pÚq)Ù(pÚr) (22)

Закон (21) можно проиллюстрировать такой парой равносильных высказываний. Левая часть: “Я учусь в институте, и в тоже время занимаюсь спортом или играю в любительском театре ”. Правая часть: “Я учусь в институте и занимаюсь спортом, или я учусь в институте и играю в любительском театре”. Этот закон говорит о том, что в алгебре высказываний можно открывать скобки так же как и в обычной алгебре (сравните: а(в+с) = ав + ас).

 

10. Законы поглощения:

pÙ(pÚq) = p (23)

pÚ(pÙq) = p (24)

pÙ( Úq) = pÙq (25)

pÚ( Ùq) = pÚq (26)

Ù(pÚq) = Ùq (27)

Ú(pÙq) = Úq (28)

Высказывания q (23) (24), (25) (26), р (27) (28) как бы поглощаются в данных случаях. Это позволяет упрощать логические формулы и соответствующие высказывания.

Например, высказывание “Я учусь в институте, и я учусь в институте или работаю на заводе” равносильно высказыванию “Я учусь в институте”.

 

11. Законы операции отрицания:

 

а) законы отрицания логических констант:

И = Л (29)

Л = И (30)

 

б) закон двойного отрицания:

= p (31)

Отрицание отрицания какого-либо высказывания равносильно первоначальному высказыванию.

Например, если высказывание “Сегодня состоится матч” (p) последовательно дважды отрицать “Сегодня не состоится матч” (), “Неверно, что сегодня не состоится матч” (), то мы возвратимся к исходному высказыванию “Сегодня состоится матч”.

в) законы де Моргана:

pÙq = Ú (32)

= Ù (33)

Отрицание конъюнкции равносильно дизъюнкции отрицаний (32) и отрицание дизъюнкции равносильно конъюнкции отрицаний (33).

Например, высказывание “Неверно, что я учусь в институте и занимаюсь спортом” равносильно высказыванию “Я не учусь в институте, или я не занимаюсь спортом” (первый закон де Моргана); высказывание “Неверно, что я учусь в институте или занимаюсь спортом” равносильно высказыванию “Я не учусь в институте и не занимаюсь спортом” (второй закон де Моргана).

Все законы логики высказываний легко доказываются с помощью таблиц истинности. В качестве примера составим таблицу истинности для проверки первого закона де Моргана:

 

p	q			pÙq	pÙq	Ú
И	И	Л	Л	И	Л	Л
Л	И	И	Л	Л	И	И
И	Л	Л	И	Л	И	И
Л	Л	И	И	Л	И	И