Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой: 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть в пространстве заданы две точки M ₁ (x ₁, y ₁, z ₁) и M₂ (x ₂, y ₂, z ₂), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х ₁ ≠ х₂ и х = х ₁, если х ₁ = х₂.

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).

Решение. Применяя записанную выше формулу, получаем:

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Определение. Каждый ненулевой вектор (α₁, α₂), компоненты которого удовлетворяют условию А α₁ + В α₂ = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Решение. Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0. при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:

х + у - 3 = 0

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим: или

, где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Пример. Задано общее уравнение прямой х – у + 1 = 0. Найти уравнение этой прямой в отрезках.

 

С = 1, , а = -1, b = 1.

 

11.Угол между прямыми, расстояние от точки до прямой.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Если точка M0∈l, то ρ(M0,l)=0 (расстояние от точки M0 до прямой l)

Для всякой точки M2/=M1 M0M2>M0M1

Найдем ρ(M0,l) -?

Oi→j→− прямоугольная система координат;

M0(x0,y0);M1(x1,y1);

−−−−−−−→M0M1⊥l и −→n⊥l;

−−−−−−−→M0M1∣∣−→n, тогда

−−−−−−−→M0M1·−→n=∣∣−−−−−−−→M0M11∣∣·∣−→n∣(±1)

 

−−−−−−−→M0M1(x1−x0,y1−y0);−→n(A,B);

−−−−−−−→M0M1·−→n=A(x1−x0)+B(y1−y0)=Ax1+By1−(Ax0+By0), т.к. M1(x1,y1)∈l⇒Ax1+By1+C=0, следовательно, последнее выражение можно переписать в виде:

−−−−−−−→M0M1·−→n=A(x1−x0)+B(y1−y0)=−(С+Ax0+By0)

 

Длина вектора −−→∣n∣=√A2+B2

Подставим все в выражение (1):

−(С+Ax0+By0)=±ρ(M0,l)√A2+B2

Угол между двумя прямыми

 

Пусть даны 2 прямые d1,d2, причем они не параллельны и пересекаются в некоторой точке d1⋂d2=A.

Углом между двумя прямыми мы назовем наименьший из образующихся углов

0</(d1,d2)≤2π

 

Случай 1

Пусть даны 2 направляющих вектора для прямых d1,d2:

a→(a1,a2)∣∣d1 и b→(b1,b2)∣∣d2, найдем tg(φ)=tg(/(d1,d2)) -?

1) d1⊥d2 тогда и только тогда, когда a→⊥b→⇔a→b→=0;

a1b1+a2b2=0⇔φ=/(d1,d2)=±2π

2) d1,d2 - не перпендикулярны

tg(φ)=tg(/(a→,b→))=∣∣∣∣∣ a1 b1 a2 b2 ∣∣∣∣∣a1b1+a2b2

 

Случай 2

Пусть

d1:A1x+B1y+C1=0

 

12.плоскость,ее уравнения.

Определение. Плоскость - есть поверхность, полностью содержащая, каждую прямую, соединяющую любые её точки.

Общее уравнение плоскости

Любую плоскость можно задать уравнением плоскости первой степени вида

A x+ B y+ C z+ D= 0

где A, B и C не могут быть одновременно равны нулю.