Приближенное решение нелинейных уравнений

§2. Правило пропорциональных частей (метод хорд).

Метод хорд – это метод приближенного решения уравнения (1) имеет следующую геометрическую иллюстрацию: вместо точки пересечения оси ОХ и графика функции у = f(x), входящей в это уравнение, рассматривается точка пересечения данной оси и отрезка прямой, соединяющей концы дуги графика. Пусть требуется вычислить действительный корень уравнения f(x) = 0, изолированный на отрезке [a; b]. Рассмотрим график функции у = f(x). Пусть f (a) < 0, а f(b) > 0.

Точки А (a; f (a)) и В (b; f(b)) соединим хордой. Найдем точку х_{1 :}

(3)

Если f (х₁) < 0, то за новый, более узкий, интервал изоляции можно взять отрезок[ х₁; b]. Соединив точки А₁ (х₁; f (х₁)) и В (b; f(b)), получим в точке пересечения хорды с осью второе приближение х₂, которое вычислим по формуле:

(4)

и т. д. Последовательность чисел а, х₁, х₂.... стремится к искомому корню х₀. Вычисления следует вести до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые мы хотим сохранить в ответе (т.е. пока не будет достигнута заданная степень точности).

Пример 1.2:

Методом хорд найти положительный корень уравнения х⁴ - 2х – 4 = 0 с точностью до 0,01

Решение. Положительный корень будет находиться в промежутке (1; 1,7), т.к. f (1) = -5<0, а

f (1,7) = 0,952>0. Найдем первое приближенное значение корня по формуле (3):

, где а = 1, b=1,7

Получим =1,588

Так как f (1,588) = -0,817 < 0, то применяя вторично способ хорд к промежутку (1,588; 1,7) получим: = 1,639; f (1,639) = -0,051 < 0.

Найдем третье приближенное значение на промежутке (1,639; 1,7)

получим: = 1,642; f (1,642) = -0,016 < 0.

Найдем четвертое приближенное значение на отрезке (1,642; 1,7)

получим: = 1,643; f (1,643) =-0,004>0.

Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64 (до тех пор, пока значение в точке f(x_i) по модулю не станет меньше заданной точности 0,01).

§3. Метод касательных (Ньютона).

Метод касательных –это метод отделения корней. Метод касательных отличается от метода хорд тем, что здесь рассматривается не секущая, соединяющая концы дуги графика, а касательная к графику. Точка пересечения касательной с осью ОХ дает приближенное значение корня.

Пусть действительный корень уравнения f(x) = 0 изолирован на отрезке [a; b]. Выберем на отрезке [a; b] такое число х₀, при котором имеет тот же знак что и , т.е. выполняется условие

>0 (5)

Проведем в точке М₀ (х₀; ) касательную к кривой

у = f(x). За приближенное значение корня примем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью ОХ. Это приближенное значение корня найдется по формуле:

(6)

Применив этот метод вторично в точке М₁ (х₁; ), получим:

(7)

и т.д. Полученная таким образом последовательность х₀, х₁, х₂.... имеет своим пределом искомый корень.

Пример 1.3:

Методом касательных найти положительный корень уравнения х⁴ - 2х – 4 = 0 с точностью до 0,01

Решение. Здесь f(x) = х⁴ - 2х – 4, =4х³ – 2, = 12х².

Так как f(x) и при х₀=1,7 имеют один и тот же знак, а именно: f (1,7) = 0,952 > 0 и = 34,68> 0, то применяя формулу где =17,652.

Тогда = 1,646.

Применяя второй раз способ касательных, получим:

, где = = 0,048, =15,838. = 1,643.

Аналогично получим третье приближение:

, =0,004, =15,740, следовательно, = 1,6427.

Следовательно, искомый корень с точностью до 0,01 равен 1,64