Интерполяционный полином Лагранжа.

Пусть дана таблица значений

 

х	х1	х2	х3	............	хп
у	у1	у2	у3	............	уп

 

Требуется составить полином (функцию) y = f (x) степени m ≤ n – 1, который принимал бы заданные значения y_i при соответствующих значениях x_i: y_i = f (x_i) (i = 1, 2, 3, ………n). Иными словами график функции должен проходить через заданные точки M (x_i; y_i)

Данная задача выполнима при использовании интерполяционного полинома Лагранжа:

+

+......

....+ (1)

или

(2)

где - вспомогательная функция п -й степени, в которой x_i – заданные табличные значения аргумента, а .

 

Пример 2.1

Составить полином Лагранжа, удовлетворяющий таблице1 значений

Таблица 1

х
у

Решение.

Вспомогательная функция

Вычислим последовательно при данных значениях х_i:

-сначала найдем производную

= (х - 2)(х - 3)(х - 4)+(х - 1)(х - 3)(х - 4)+(х - 1)(х - 2)(х - 4)+(х - 1)(х - 2)(х - 3);

-затем вычислим : , , , .

Тогда по формуле (1)

=

= х + 1

Таким образом, в данном случае в качестве интерполяционного полинома найдена линейная функция f (x) = х + 1.

Интерполяционная формула Ньютона.

Пусть у_0, у_1, у_2,....... – значения некоторой функции y = f (x), соответствующие равноотстоящим значениям аргументам х₀, х₁, х₂,....... (т.е. х_k+1 – x_k = Δ x =h- const- шаг).

Введем обозначения:

Δ у₀ = у₁ – у₀, Δ у₁ = у₂ – у₁, Δ у₂ = у₃ – у₂,........., Δ у_п-1 = у_п – у_п-1 - разности первого порядка данной функции;

Δ² у₀ = Δ у₁ – Δ у₀, Δ² у₁ = Δ у₂ – Δ у₁,............. – разности второго порядка

.......................................................................................................................................................

Δ ^п+1у₀ = Δ ^пу₁ – Δ ^пу₀, Δ ^п+1у₁ = Δ ^пу₂ – Δ ^пу₁,............. – разности (п+ 1)- го порядка

Производя последовательные подстановки, получим:

Δ² у₀ = у₂ -2у₁ + у₀, Δ³ у₀ = у₃ -3у₂ +3 у₁ – у₀ ,........

Подобным же образом получаем:

у₁ = у₀ + Δ у₀, у₂ = у₀ + 2 Δ у₀ + Δ² у₀, у₃ = у₀ + 3 Δ у₀ + 3 Δ² у₀ + Δ³ у₀,......

(3)

Запишем таблицу разностей:

х₀ у₀

Δ у₀

х₁ у₁ Δ² у₀

Δ у₁ Δ³ у₀

х₂ у₂ Δ² у₁ Δ⁴ у₀

Δ у₂ Δ³ у₁

х₃ у₃ Δ² у₂

Δ у₃

х₄ у₄

....................................................

Если в формуле (3) положить, что п – не только целое и положительное число, а может быть любым п = t, то получим интерполяционную формулу Ньютона

(4)

Мы получили такую функцию от t, которая обращается при t = 0 в у₀, при t = 1 в у_{1 ,} при t = 2 в у₂ и т. д. Поскольку последующее значение аргумента х при постоянном шаге h определяется формулой x_n = x₀ + nh, то . Тогда, полагая x = x₀ + th, приведем формулу (3) к виду

(3^*)

х
у

Пример 2.2:

Из таблицы 2:

Найти значение у при х = 3,1, пользуясь интерполяционной формулой Ньютона, а также саму интерполяционную функцию (из табл.2 следует, что шаг по х равен h=1).

Решение. Составим таблицу разностей:

х	у	Δу0	Δ^2 у0	Δ^3 у0

 

Здесь х₀ = 3, х = 3,1, h = 1. (выбирается из таблицы 2 ближайшее число к 3.1, и шаг то же).

Тогда

Интерполяционная формула Ньютона (4) для этого случая:

Следовательно , т.е. при х = 3,1 у = 13,71

Интерполяционная функция Ньютона (3^*)

Упражнения.

1. Используя интерполяционную формулу Лагранжа, найти уравнение параболы проходящей через точки (2; 0), (4; 3), (6; 5), (8; 4), (10; 1).

(Ответ: у = (х⁴ - 26х³ + 220х² – 664х + 640))

1. Даны точки (0; 3), (2; 1), (3; 5), (4; 7). Используя интерполяционную формулу Лагранжа, составить уравнение функции, принимающей указанные значения при заданных значениях аргумента.

(Ответ: у = (- 2х³ -15х² + 25х -9))

1. Используя интерполяционную формулу Лагранжа, построить функцию, принимающую значения заданные таблицей.

х
у	-7

(Ответ: у = (х³ -13х² + 69х -92))

1. Используя интерполяционную формулу Лагранжа, построить функцию, график которой проходит через точки (2; 3), (4; 7), (5; 9), (10; 19).

(Ответ: у =2х - 1)

1. Даны десятичные логарифмы чисел:

lg 2,0 = 0,30103, lg 2,1 = 0,32222, lg 2,2 = 0,34242,

lg 2,3 = 0,36173, lg 2,4 = 0,38021, lg 2,5 = 0,39794.

Пользуясь интерполяционной формулой Ньютона, найти lg 2,03.

(Ответ: lg 2,03 = 0,30750)

1. Найти интерполяционный полином Ньютона для функции y = f (x), если известныее значения f (1) = 6, f (3) = 24, f (4) =45.

(Ответ: у = 4х² - 7х+ 9)

1. Найти интерполяционный полином Ньютона для функции f(x)= 2^x и ее значениям в точках х₀ = -1, х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 2, х₄ = 3 ивычислить f(-0,5) и f(2,5).

(Ответ: у =8 + 4(х - 3) + (х – 3)(х - 2)+ (х – 3)(х - 2)(х – 1) + (х – 3)(х - 2)(х – 1)х, f(-0,5)= 0,700, f(2,5)= 5,658.)

1. Составить интерполяционную формулу Ньютона по данным таблицы

х
у

(Ответ: у = х³ + х² + х + 1)

ГЛАВА III.