Комбинированное применение методов хорд и касательных.

Пусть требуется вычислить действительный корень уравнения f(x) = 0, изолированный на отрезке [a; b]. Предполагается, что f (a) и f(b) имеют разные знаки (т.е. f (a)* f(b) < 0), а каждая из производных сохраняет определенный знак на отрезке изоляции. Возьмем на отрезке [a; b] такую точку х_0, что имеет тот же знак что и , т.е. выполняется условие:

>0.

Воспользуемся способами хорд и касательных:

Величины х₁₁ и х₁₂ принадлежат промежутку изоляции, причем и имеют разные знаки.

Построим новую пару приближений к корню:

Точки х₂₁ и х₂₂ на числовой оси между точками х₁₁ и х₁₂, причем и имеют разные знаки.

и т. д. Каждая из последовательностей:

х_11, х_21, х₃₁ .............

х_12, х_22, х₃₂ .............

стремится к искомому корню, причем одна из последовательностей монотонно возрастает, а другая монотонно убывает.

Пример 1.4:

Комбинируя способы хорд и касательных найти приближенное значение корня уравнения

х³ + х² -11 = 0, изолированного в промежутке (1; 2) с точностью до 0,001.

Решение.

Имеем f(x) = х³ + х² -11, =3х²+2х = 6х+2. В указанном промежутке >0, поэтому за первое приближение в способе касательных берем х₀=2, так как f(2)=1 >0;

Искомый корень принадлежит промежутку (1,9; 1,94).

f(1,9)= -0,531, f(1,94) =0,065,

Следовательно,

Так как значения х₂₁ и х₂₂ , вычисленные с точностью до 0,001, совпали, то приближенным значением корня будет 1,936.

Метод итераций.

Если каким нибудь способом получено приближенное значение х₀ корня уравнения, то уточнение приближения можно осуществить методом итераций (методом последовательных приближений).

Пусть задано уравнение f(x) = 0, представим его в виде , где <1 всюду на отрезке [a; b], содержащем единственный корень . Исходя из некоторого начального значения можно построить последовательность: , , ....... ...

Пределом последовательности х₁, х₂, х₃,..... х_п .... является единственный корень уравнения f(x) = 0 на отрезке [a; b].

Пример 1.5:

Способом итераций найти приближенное значение корня уравнения 2 – lgx – x = 0 с точностью до 0.001

Решение.

Найдем интервал изоляции действительного корня уравнения.

Представим уравнение в виде:

lgx = – x + 2

Построим графики функций у = lgx и у = – x + 2. Точка М пересечения графиков имеет абсциссу в промежутке [1; 2]. Пусть х₀ = 1. Запишем исходное уравнение в виде х = 2 – lgx.

= 2 – lgx,

в промежутке [1; 2], следовательно, способ итераций применим.

Найдем приближения:

Таким образом, искомый корень с точностью до 0,001 равен 1,755

Упражнения.

Отделить корни уравнения графически и методом исследования отрезков.

1. х³ – 12х + 1 = 0. (Ответ: (-4;-3), (0;1),(3;4))
2. х³ + 2х - 7 = 0. (Ответ: (1;2))
3. х³ – 9х² + 18х - 1 = 0. (Ответ: (0;1), (2;3),(6;7))

Решить способом хорд и касательных с точностью до 0,01 следующие уравнения:

1. х⁴ + 3х - 20 = 0. (Ответ: 1,94)
2. х³ - 2х - 5 = 0. (Ответ: 2,09)
3. х⁴ - 3х + 1 = 0. (Ответ: 0,33; 1,30)
4. х³ + 3х + 5 = 0. (Ответ: -1,15)

Применив комбинированный способ хорд и касательных решить уравнение.

1. х⁴ + 5х - 7 = 0. (Ответ: 1,11)

Решить способом итераций с точностью до 0,01 следующие уравнения.

1. х³ - 12х + 5 = 0. (Ответ: 0,42)
2. х⁴ - 2х² - 4х - 7 = 0. (Ответ: 3,62)

 

ГЛАВА II.

ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ.