Приближенное вычисление определенных интегралов.

Пусть требуется найти определенный интеграл от непрерывной функции f(x). Если можно найти первообразную F(x) функции f(x), то интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница. Но не всегда первообразная функции выражается через элементарные функции. В этих и других случаях используют приближенные формулы, с помощью которых определенный интеграл находится с любой степенью точности.

Наиболее употребимые формулы – формула прямоугольников, формула трапеции и формула парабол (Симпсона), основанные на геометрическом смысле определенного интеграла.

Метод прямоугольников.

Пусть на отрезке [a; b], где a < b, задана непрерывная функция f(x). Требуется вычислить интеграл , численно равный площади соответствующей криволинейной трапеции. Разобьем основание этой трапеции на п равных частей длины . тогда x_i = x₀+hi. В середине каждого такого отрезка построим ординату графика функции у = f(x). Приняв эту ординату за высоту построим прямоугольник с площадью

. Тогда сумма площадей всех п прямоугольников (при достаточно большом п) дает площадь приближенно равную площади трапеции, т.е.

т.е.

- формула прямоугольников (1)

Абсолютная погрешность метода определяется неравенством:

(2)

где (3)

Пример 3.1: Вычислить интеграл при п = 4, используя метод прямоугольников.

Решение.

=

=

т.к. и :

 

где

, ,

Следовательно:

-по формуле прямоугольников

Пример 3.2:

Зная, что погрешность метода прямоугольников при вычислении интеграла составляет 0,125, определить число разбиений п.

Решение. Используя формулу (2) получим

Умножим правую и левую части неравенства на дробь , тогда .

т.е или

Метод трапеций.

Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.

Пусть на отрезке [a; b], где a < b, задана непрерывная функция f(x). Требуется вычислить интеграл , численно равный площади соответствующей криволинейной трапеции. Разобьем основание этой трапеции на п равных частей длины . тогда x_i = x₀+hi, y_i = f (x_i).

Так как площадь криволинейной трапеции приблизительно равна сумме площадей трапеций S_i, высота каждой из которых равна h, то:

Абсолютная погрешность метода (аналогично методу прямоугольников) составляет:

где (4)

тогда - формула трапеций. (5)

Пример 3.3: Вычислить интеграл при п = 4, используя метод трапеций.

Решение. По формуле трапеций:

, т.к. , , то

,

,

,

,

.

Тогда , , , , .

 

Найдем погрешность:

где

, ,

Следовательно

-по формуле трапеций

§3. Метод парабол (Метод Симпсона).

Если заменить график функции на каждом отрезке не отрезками прямых, как в методах прямоугольников и трапеций, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного значения интеграла .

Предварительно найдем вспомогательную площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой y = ax² + bx + c, прямыми x = -h, x = h и отрезком [ -h; h ].

Пусть парабола проходит через точки М₁ (-h; у₀),

М₂ (0; у₁) и М₃ (h; у₂).

(6)

тогда полученная площадь:

(7)

Выразим полученное значение через у_0, у₁ и у₂. Используя формулы (6) получим c = y₁, . Подставляя полученные значения в (7) получим:

- формула Симпсона для рис 3.3 (8)

Вывод формулы парабол (Симпсона).

Пусть дана криволинейная трапеция, ограниченная функциями y = f (x), x = a, x = b, y = 0.

1. Разобьем отрезок [a; b] на 2п равных частей. Получим отрезки длиной (9)
2. В точках деления вычислим значения функции

y = f (x): у₀, у₁, у₂,......, у_2п-2, у_2п-1, у_2п.

1. Заменим каждую пару соседних криволинейных трапеций параболическими трапециями с основаниями, равными 2h.

 

 

На отрезке [ x₀; x₂ ] парабола проходит через точки (х₀; у₀), (х₁; у₁), (х₂; у₂).

Используя формулу (8) получим

Аналогично на отрезке [ x₂; x₄ ]: и т. д. до

Следовательно:

=

Учитывая погрешность вычислений и , получим формулу Симпсона

(10)

Абсолютная погрешность метода оценивается соотношением:

где (11)

Пример 3.4:

Вычислить интеграл , используя метод парабол при п = 4.

Решение.

Количество разбиений 2п = 8, , f (x)= x³

Составим таблицу:

х	y0 , y8	учетное	унечетное
x0 =0	y0 = f(0) = 0^3= 0
x8 = 2	y8 = f(2) = 2^3 = 8

 

Рассмотрим погрешность метода:

= 0 (Доказать самостоятельно).

 

По формуле Симпсона получаем:

=

Точное решение: =

Упражнения.

1. По формуле прямоугольников вычислить , разбив интервал интегрирования на 10 частей. Оценить погрешность.

(Ответ: )

1. По формуле трапеций вычислить , разбив интервал интегрирования на 10 частей. Оценить погрешность.

(Ответ: )

1. По формуле Симпсона вычислить , с точностью до 0,001

(Ответ: )

1. По формуле Симпсона вычислить , с точностью до 0,0001

(Ответ: п = 10, )

1. По формуле Симпсона вычислить , с точностью до 0,01

(Ответ: п = 5, )

1. По формуле Симпсона вычислить , с точностью до 0,01

(Ответ: п = 4, )

1. По формуле трапеций вычислить , с точностью до 0,01

(Ответ: п = 4, )

1. По формуле трапеций вычислить , с точностью до 0,01

(Ответ: п = 6, )

 

ГЛАВА IV.